Analysis Beispiele

$e^{\frac{x}{2}}$

Schritt 1

Sei $u = \frac{x}{2}$ . Dann ist $d u = \frac{1}{2} d x$ , folglich $2 d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = \frac{x}{2}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Schritt 1.1.2

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x}{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Schritt 1.1.4

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2}$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int e^{u} \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{2}$ zu dividieren.

$\int e^{u} (1 \cdot 2) d u$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\int e^{u} \cdot 2 d u$

Schritt 2.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $e^{u}$ .

$\int 2 e^{u} d u$

Schritt 3

Da $2$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int e^{u} d u$

Schritt 4

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$2 (e^{u} + C)$

Schritt 5

Vereinfache.

$2 e^{u} + C$

Schritt 6

Ersetze alle $u$ durch $\frac{x}{2}$ .

$2 e^{\frac{x}{2}} + C$

Schritt 7

Stelle die Terme um.

$2 e^{\frac{1}{2} x} + C$