Analysis Beispiele

$3 e^{- 3 x} {(7 + 5 e^{- 3 x})}^{2} d x$

Schritt 1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$3 \int e^{- 3 x} {(7 + 5 e^{- 3 x})}^{2} d x$

Schritt 2

Sei $u_{2} = 7 + 5 e^{- 3 x}$ . Dann ist $d u_{2} = - 15 e^{- 3 x} d x$ , folglich $- \frac{1}{15} d u_{2} = e^{- 3 x} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u_{2} = 7 + 5 e^{- 3 x}$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $7 + 5 e^{- 3 x}$ .

$\frac{d}{d x} [7 + 5 e^{- 3 x}]$

Schritt 2.1.2

Differenziere.

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Schritt 2.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $7 + 5 e^{- 3 x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [5 e^{- 3 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [5 e^{- 3 x}]$

Schritt 2.1.2.2

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [5 e^{- 3 x}]$

Schritt 2.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [5 e^{- 3 x}]$ .

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Schritt 2.1.3.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 e^{- 3 x}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$ .

$0 + 5 \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

Schritt 2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - 3 x$ .

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Schritt 2.1.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $- 3 x$ .

$0 + 5 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Schritt 2.1.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$0 + 5 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Schritt 2.1.3.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $- 3 x$ .

$0 + 5 (e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Schritt 2.1.3.3

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 5 (e^{- 3 x} (- 3 \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 2.1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 + 5 (e^{- 3 x} (- 3 \cdot 1))$

Schritt 2.1.3.5

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$0 + 5 (e^{- 3 x} \cdot - 3)$

Schritt 2.1.3.6

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $e^{- 3 x}$ .

$0 + 5 (- 3 \cdot e^{- 3 x})$

Schritt 2.1.3.7

Mutltipliziere $- 3$ mit $5$ .

$0 - 15 e^{- 3 x}$

Schritt 2.1.4

Subtrahiere $15 e^{- 3 x}$ von $0$ .

$- 15 e^{- 3 x}$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$3 \int {u_{2}}^{2} \frac{1}{- 15} d u_{2}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$3 \int {u_{2}}^{2} (- \frac{1}{15}) d u_{2}$

Schritt 3.2

Kombiniere ${u_{2}}^{2}$ und $\frac{1}{15}$ .

$3 \int - \frac{{u_{2}}^{2}}{15} d u_{2}$

Schritt 4

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$3 (- \int \frac{{u_{2}}^{2}}{15} d u_{2})$

Schritt 5

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- 3 \int \frac{{u_{2}}^{2}}{15} d u_{2}$

Schritt 6

Da $\frac{1}{15}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{15}$ aus dem Integral.

$- 3 (\frac{1}{15} \int {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Kombiniere $\frac{1}{15}$ und $- 3$ .

$\frac{- 3}{15} \int {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Schritt 7.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 3$ und $15$ .

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Schritt 7.2.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$\frac{3 (- 1)}{15} \int {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Schritt 7.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $15$ heraus.

$\frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 5} \int {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Schritt 7.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 5} \int {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Schritt 7.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{5} \int {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Schritt 7.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{5} \int {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von ${u_{2}}^{2}$ nach $u_{2}$ gleich $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$- \frac{1}{5} (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C)$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Schreibe $- \frac{1}{5} (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C)$ als $- \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C$ um.

$- \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C$

Schritt 9.2

Vereinfache.

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Schritt 9.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{1}{5}$ .

$- \frac{1}{3 \cdot 5} {u_{2}}^{3} + C$

Schritt 9.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$- \frac{1}{15} {u_{2}}^{3} + C$

Schritt 10

Ersetze alle $u_{2}$ durch $7 + 5 e^{- 3 x}$ .

$- \frac{1}{15} {(7 + 5 e^{- 3 x})}^{3} + C$