Analysis Beispiele

$3 \sqrt{x} - 2 \sqrt[3]{x}$

Schritt 1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 3 \sqrt{x} d x + \int - 2 \sqrt[3]{x} d x$

Schritt 2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$3 \int \sqrt{x} d x + \int - 2 \sqrt[3]{x} d x$

Schritt 3

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$3 \int x^{\frac{1}{2}} d x + \int - 2 \sqrt[3]{x} d x$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + \int - 2 \sqrt[3]{x} d x$

Schritt 5

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) - 2 \int \sqrt[3]{x} d x$

Schritt 6

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x}$ als $x^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) - 2 \int x^{\frac{1}{3}} d x$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{1}{3}}$ nach $x$ gleich $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ .

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) - 2 (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C)$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Vereinfache.

$3 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} - 2 (\frac{3}{4}) x^{\frac{4}{3}} + C$

Schritt 8.2

Vereinfache.

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Schritt 8.2.1

Kombiniere $3$ und $\frac{2}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3} x^{\frac{3}{2}} - 2 (\frac{3}{4}) x^{\frac{4}{3}} + C$

Schritt 8.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{6}{3} x^{\frac{3}{2}} - 2 (\frac{3}{4}) x^{\frac{4}{3}} + C$

Schritt 8.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $3$ .

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Schritt 8.2.3.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$\frac{3 \cdot 2}{3} x^{\frac{3}{2}} - 2 (\frac{3}{4}) x^{\frac{4}{3}} + C$

Schritt 8.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.2.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{3 \cdot 2}{3 (1)} x^{\frac{3}{2}} - 2 (\frac{3}{4}) x^{\frac{4}{3}} + C$

Schritt 8.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} x^{\frac{3}{2}} - 2 (\frac{3}{4}) x^{\frac{4}{3}} + C$

Schritt 8.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{1} x^{\frac{3}{2}} - 2 (\frac{3}{4}) x^{\frac{4}{3}} + C$

Schritt 8.2.3.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$2 x^{\frac{3}{2}} - 2 (\frac{3}{4}) x^{\frac{4}{3}} + C$

Schritt 8.2.4

Kombiniere $- 2$ und $\frac{3}{4}$ .

$2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{- 2 \cdot 3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C$

Schritt 8.2.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{- 6}{4} x^{\frac{4}{3}} + C$

Schritt 8.2.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 6$ und $4$ .

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Schritt 8.2.6.1

Faktorisiere $2$ aus $- 6$ heraus.

$2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{2 (- 3)}{4} x^{\frac{4}{3}} + C$

Schritt 8.2.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.2.6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 2} x^{\frac{4}{3}} + C$

Schritt 8.2.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 2} x^{\frac{4}{3}} + C$

Schritt 8.2.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{- 3}{2} x^{\frac{4}{3}} + C$

Schritt 8.2.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 x^{\frac{3}{2}} - \frac{3}{2} x^{\frac{4}{3}} + C$