Analysis Beispiele

$2 \sqrt{2 x - 2}$

Schritt 1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int \sqrt{2 x - 2} d x$

Schritt 2

Sei $u = 2 x - 2$ . Dann ist $d u = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = 2 x - 2$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $2 x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 2]$

Schritt 2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 2.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 2.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 2.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 2.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.1.4.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 + 0$

Schritt 2.1.4.2

Addiere $2$ und $0$ .

$2$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$2 \int \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Schritt 3

Kombiniere $\sqrt{u}$ und $\frac{1}{2}$ .

$2 \int \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Schritt 4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$2 (\frac{1}{2} \int \sqrt{u} d u)$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.1

Vereinfache.

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Schritt 5.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{2}{2} \int \sqrt{u} d u$

Schritt 5.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{2} \int \sqrt{u} d u$

Schritt 5.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$1 \int \sqrt{u} d u$

Schritt 5.1.3

Mutltipliziere $\int \sqrt{u} d u$ mit $1$ .

$\int \sqrt{u} d u$

Schritt 5.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int u^{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 7

Ersetze alle $u$ durch $2 x - 2$ .

$\frac{2}{3} {(2 x - 2)}^{\frac{3}{2}} + C$