Analysis Beispiele

$5 \sqrt{x^{2} + 6}$

Schritt 1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$5 \int \sqrt{x^{2} + 6} d x$

Schritt 2

Sei $x = \sqrt{6} \tan (t)$ , mit $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Dann ist $d x = \sec^{2} (t) \sqrt{6} d t$ . Beachte, dass wegen $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\sec^{2} (t) \sqrt{6}$ positiv ist.

$5 \int \sqrt{{(\sqrt{6} \tan (t))}^{2} + {\sqrt{6}}^{2}} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

Schritt 3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.1

Vereinfache $\sqrt{{(\sqrt{6} \tan (t))}^{2} + {\sqrt{6}}^{2}}$ .

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Schritt 3.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1.1

Wende die Produktregel auf $\sqrt{6} \tan (t)$ an.

$5 \int \sqrt{{\sqrt{6}}^{2} \tan^{2} (t) + {\sqrt{6}}^{2}} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

Schritt 3.1.1.2

Schreibe ${\sqrt{6}}^{2}$ als $6$ um.

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Schritt 3.1.1.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{6}$ als $6^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$5 \int \sqrt{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2} \tan^{2} (t) + {\sqrt{6}}^{2}} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

Schritt 3.1.1.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 \int \sqrt{6^{\frac{1}{2} \cdot 2} \tan^{2} (t) + {\sqrt{6}}^{2}} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

Schritt 3.1.1.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$5 \int \sqrt{6^{\frac{2}{2}} \tan^{2} (t) + {\sqrt{6}}^{2}} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

Schritt 3.1.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.1.1.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 \int \sqrt{6^{\frac{2}{2}} \tan^{2} (t) + {\sqrt{6}}^{2}} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

Schritt 3.1.1.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$5 \int \sqrt{6^{1} \tan^{2} (t) + {\sqrt{6}}^{2}} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

Schritt 3.1.1.2.5

Berechne den Exponenten.

$5 \int \sqrt{6 \tan^{2} (t) + {\sqrt{6}}^{2}} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

Schritt 3.1.1.3

Schreibe ${\sqrt{6}}^{2}$ als $6$ um.

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Schritt 3.1.1.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{6}$ als $6^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$5 \int \sqrt{6 \tan^{2} (t) + {(6^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

Schritt 3.1.1.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 \int \sqrt{6 \tan^{2} (t) + 6^{\frac{1}{2} \cdot 2}} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

Schritt 3.1.1.3.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$5 \int \sqrt{6 \tan^{2} (t) + 6^{\frac{2}{2}}} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

Schritt 3.1.1.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.1.1.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 \int \sqrt{6 \tan^{2} (t) + 6^{\frac{2}{2}}} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

Schritt 3.1.1.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$5 \int \sqrt{6 \tan^{2} (t) + 6^{1}} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

Schritt 3.1.1.3.5

Berechne den Exponenten.

$5 \int \sqrt{6 \tan^{2} (t) + 6} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

Schritt 3.1.2

Faktorisiere $6$ aus $6 \tan^{2} (t) + 6$ heraus.

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Schritt 3.1.2.1

Faktorisiere $6$ aus $6 \tan^{2} (t)$ heraus.

$5 \int \sqrt{6 (\tan^{2} (t)) + 6} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

Schritt 3.1.2.2

Faktorisiere $6$ aus $6$ heraus.

$5 \int \sqrt{6 (\tan^{2} (t)) + 6 (1)} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

Schritt 3.1.2.3

Faktorisiere $6$ aus $6 (\tan^{2} (t)) + 6 (1)$ heraus.

$5 \int \sqrt{6 (\tan^{2} (t) + 1)} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

Schritt 3.1.3

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$5 \int \sqrt{6 \sec^{2} (t)} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

Schritt 3.1.4

Stelle $6$ und $\sec^{2} (t)$ um.

$5 \int \sqrt{\sec^{2} (t) \cdot 6} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

Schritt 3.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$5 \int \sec (t) \sqrt{6} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Potenziere $\sec (t)$ mit $1$ .

$5 \int \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) \sqrt{6} \sqrt{6} d t$

Schritt 3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$5 \int {\sec (t)}^{2 + 1} \sqrt{6} \sqrt{6} d t$

Schritt 3.2.3

Addiere $2$ und $1$ .

$5 \int \sec^{3} (t) \sqrt{6} \sqrt{6} d t$

Schritt 3.2.4

Potenziere $\sqrt{6}$ mit $1$ .

$5 \int \sec^{3} (t) ({\sqrt{6}}^{1} \sqrt{6}) d t$

Schritt 3.2.5

Potenziere $\sqrt{6}$ mit $1$ .

$5 \int \sec^{3} (t) ({\sqrt{6}}^{1} {\sqrt{6}}^{1}) d t$

Schritt 3.2.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$5 \int \sec^{3} (t) {\sqrt{6}}^{1 + 1} d t$

Schritt 3.2.7

Addiere $1$ und $1$ .

$5 \int \sec^{3} (t) {\sqrt{6}}^{2} d t$

Schritt 3.2.8

Schreibe ${\sqrt{6}}^{2}$ als $6$ um.

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Schritt 3.2.8.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{6}$ als $6^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$5 \int \sec^{3} (t) {(6^{\frac{1}{2}})}^{2} d t$

Schritt 3.2.8.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 \int \sec^{3} (t) \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2} d t$

Schritt 3.2.8.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$5 \int \sec^{3} (t) \cdot 6^{\frac{2}{2}} d t$

Schritt 3.2.8.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.8.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 \int \sec^{3} (t) \cdot 6^{\frac{2}{2}} d t$

Schritt 3.2.8.4.2

Forme den Ausdruck um.

$5 \int \sec^{3} (t) \cdot 6^{1} d t$

Schritt 3.2.8.5

Berechne den Exponenten.

$5 \int \sec^{3} (t) \cdot 6 d t$

Schritt 3.2.9

Bringe $6$ auf die linke Seite von $\sec^{3} (t)$ .

$5 \int 6 \sec^{3} (t) d t$

Schritt 4

Da $6$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $6$ aus dem Integral.

$5 (6 \int \sec^{3} (t) d t)$

Schritt 5

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $6$ mit $5$ .

$30 \int \sec^{3} (t) d t$

Schritt 5.2

Faktorisiere $\sec (t)$ aus $\sec^{3} (t)$ heraus.

$30 \int \sec (t) \sec^{2} (t) d t$

Schritt 6

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \sec (t)$ und $d v = \sec^{2} (t)$ .

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t)$

Schritt 7

Potenziere $\tan (t)$ mit $1$ .

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan (t) \sec (t) d t)$

Schritt 8

Potenziere $\tan (t)$ mit $1$ .

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan^{1} (t) \sec (t) d t)$

Schritt 9

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t)$

Schritt 10

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 10.1

Addiere $1$ und $1$ .

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{2} (t) \sec (t) d t)$

Schritt 10.2

Stelle $\tan^{2} (t)$ und $\sec (t)$ um.

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \tan^{2} (t) d t)$

Schritt 11

Schreibe $\tan^{2} (t)$ in $- 1 + \sec^{2} (t)$ um unter Verwendung des trigonometrischen Pythagoras.

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec^{2} (t)) d t)$

Schritt 12

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 12.1

Schreibe die Potenz um als ein Produkt.

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec (t) \sec (t)) d t)$

Schritt 12.2

Wende das Distributivgesetz an.

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \cdot - 1 + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t)$

Schritt 12.3

Stelle $\sec (t)$ und $- 1$ um.

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \cdot \sec (t) + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t)$

Schritt 13

Potenziere $\sec (t)$ mit $1$ .

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec (t) \sec (t) d t)$

Schritt 14

Potenziere $\sec (t)$ mit $1$ .

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec^{1} (t) \sec (t) d t)$

Schritt 15

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t)$

Schritt 16

Addiere $1$ und $1$ .

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec (t) d t)$

Schritt 17

Potenziere $\sec (t)$ mit $1$ .

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) d t)$

Schritt 18

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{2 + 1} d t)$

Schritt 19

Addiere $2$ und $1$ .

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{3} (t) d t)$

Schritt 20

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$30 (\sec (t) \tan (t) - (\int - 1 \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t))$

Schritt 21

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$30 (\sec (t) \tan (t) - (- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t))$

Schritt 22

Das Integral von $\sec (t)$ nach $t$ ist $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$30 (\sec (t) \tan (t) - (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec^{3} (t) d t))$

Schritt 23

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 23.1

Wende das Distributivgesetz an.

$30 (\sec (t) \tan (t) - - (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t)$

Schritt 23.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$30 (\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t)$

Schritt 24

Wenn nach $\int \sec^{3} (t) d t$ aufgelöst wird, erhalten wir $\int \sec^{3} (t) d t$ = $\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2}$ .

$30 (\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2} + C)$

Schritt 25

Mutltipliziere $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$ mit $1$ .

$30 (\frac{\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C}{2} + C)$

Schritt 26

Vereinfache.

$30 (\frac{1}{2}) (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Schritt 27

Vereinfache.

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Schritt 27.1

Kombiniere $30$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{30}{2} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Schritt 27.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $30$ und $2$ .

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Schritt 27.2.1

Faktorisiere $2$ aus $30$ heraus.

$\frac{2 \cdot 15}{2} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Schritt 27.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 27.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 \cdot 15}{2 (1)} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Schritt 27.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 15}{2 \cdot 1} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Schritt 27.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{15}{1} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Schritt 27.2.2.4

Dividiere $15$ durch $1$ .

$15 (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Schritt 28

Ersetze alle $t$ durch $\arctan (\frac{x}{\sqrt{6}})$ .

$15 (\sec (\arctan (\frac{x}{\sqrt{6}})) \tan (\arctan (\frac{x}{\sqrt{6}})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{\sqrt{6}})) + \tan (\arctan (\frac{x}{\sqrt{6}})) |)) + C$

Schritt 29

Stelle die Terme um.

$15 (\sec (\arctan (\frac{1}{\sqrt{6}} x)) \tan (\arctan (\frac{1}{\sqrt{6}} x)) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{1}{\sqrt{6}} x)) + \tan (\arctan (\frac{1}{\sqrt{6}} x)) |)) + C$