Analysis Beispiele

\cos (3 t)

$\cos (3 t)$

Schritt 1

Sei

u = 3 t

$u = 3 t$ . Dann ist

d u = 3 d t

$d u = 3 d t$ , folglich

\frac{1}{3} d u = d t

$\frac{1}{3} d u = d t$ . Forme um unter Verwendung von

u

$u$ und

d

$d$

u

$u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Es sei

u = 3 t

$u = 3 t$ . Ermittle

\frac{d u}{d t}

$\frac{d u}{d t}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Differenziere

3 t

$3 t$ .

\frac{d}{d t} [3 t]

$\frac{d}{d t} [3 t]$

Schritt 1.1.2

3

$3$ konstant bezüglich

t

$t$ ist, ist die Ableitung von

3 t

$3 t$ nach

t

$t$ gleich

3 \frac{d}{d t} [t]

$3 \frac{d}{d t} [t]$ .

3 \frac{d}{d t} [t]

$3 \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass

\frac{d}{d t} [t^{n}]

$\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich

n t^{n - 1}

$n t^{n - 1}$ ist mit

n = 1

$n = 1$ .

3 \cdot 1

$3 \cdot 1$

Schritt 1.1.4

Mutltipliziere

3

$3$ mit

1

$1$ .

3

$3$

3

$3$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von

u

$u$ und

d u

$d u$ neu.

\int \cos (u) \frac{1}{3} d u

$\int \cos (u) \frac{1}{3} d u$

\int \cos (u) \frac{1}{3} d u

$\int \cos (u) \frac{1}{3} d u$

Schritt 2

Kombiniere

\cos (u)

$\cos (u)$ und

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ .

\int \frac{\cos (u)}{3} d u

$\int \frac{\cos (u)}{3} d u$

Schritt 3

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ konstant bezüglich

u

$u$ ist, ziehe

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

\frac{1}{3} \int \cos (u) d u

$\frac{1}{3} \int \cos (u) d u$

Schritt 4

Das Integral von

\cos (u)

$\cos (u)$ nach

u

$u$ ist

\sin (u)

$\sin (u)$ .

\frac{1}{3} (\sin (u) + C)

$\frac{1}{3} (\sin (u) + C)$

Schritt 5

Vereinfache.

\frac{1}{3} \sin (u) + C

$\frac{1}{3} \sin (u) + C$

Schritt 6

Ersetze alle

u

$u$ durch

3 t

$3 t$ .

\frac{1}{3} \sin (3 t) + C

$\frac{1}{3} \sin (3 t) + C$