Analysis Beispiele

$\cos (\frac{1 x}{3})$

Schritt 1

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\int \cos (\frac{x}{3}) d x$

Schritt 2

Sei $u = \frac{x}{3}$ . Dann ist $d u = \frac{1}{3} d x$ , folglich $3 d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = \frac{x}{3}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $\frac{x}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Schritt 2.1.2

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x}{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1$

Schritt 2.1.4

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $1$ .

$\frac{1}{3}$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \cos (u) \frac{1}{\frac{1}{3}} d u$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{3}$ zu dividieren.

$\int \cos (u) (1 \cdot 3) d u$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\int \cos (u) \cdot 3 d u$

Schritt 3.3

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\cos (u)$ .

$\int 3 \cos (u) d u$

Schritt 4

Da $3$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$3 \int \cos (u) d u$

Schritt 5

Das Integral von $\cos (u)$ nach $u$ ist $\sin (u)$ .

$3 (\sin (u) + C)$

Schritt 6

Vereinfache.

$3 \sin (u) + C$

Schritt 7

Ersetze alle $u$ durch $\frac{x}{3}$ .

$3 \sin (\frac{x}{3}) + C$

Schritt 8

Stelle die Terme um.

$3 \sin (\frac{1}{3} x) + C$