Analysis Beispiele

$\cos (\frac{π}{6} x)$

Schritt 1

Sei $u = \frac{π}{6} x$ . Dann ist $d u = \frac{π}{6} d x$ , folglich $\frac{6}{π} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = \frac{π}{6} x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $\frac{π}{6} x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{π}{6} x]$

Schritt 1.1.2

Da $\frac{π}{6}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{π}{6} x$ nach $x$ gleich $\frac{π}{6} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{π}{6} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{π}{6} \cdot 1$

Schritt 1.1.4

Mutltipliziere $\frac{π}{6}$ mit $1$ .

$\frac{π}{6}$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \cos (u) \frac{1}{\frac{π}{6}} d u$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{π}{6}$ zu dividieren.

$\int \cos (u) (1 \frac{6}{π}) d u$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $\frac{6}{π}$ mit $1$ .

$\int \cos (u) \frac{6}{π} d u$

Schritt 2.3

Kombiniere $\cos (u)$ und $\frac{6}{π}$ .

$\int \frac{\cos (u) \cdot 6}{π} d u$

Schritt 2.4

Bringe $6$ auf die linke Seite von $\cos (u)$ .

$\int \frac{6 \cos (u)}{π} d u$

Schritt 3

Da $\frac{6}{π}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{6}{π}$ aus dem Integral.

$\frac{6}{π} \int \cos (u) d u$

Schritt 4

Das Integral von $\cos (u)$ nach $u$ ist $\sin (u)$ .

$\frac{6}{π} (\sin (u) + C)$

Schritt 5

Vereinfache.

$\frac{6}{π} \sin (u) + C$

Schritt 6

Ersetze alle $u$ durch $\frac{π}{6} x$ .

$\frac{6}{π} \sin (\frac{π}{6} x) + C$