Analysis Beispiele

$\frac{x - z}{y + z}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 1.1

Da $x - z$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x - z}{y + z}$ nach $y$ gleich $(x - z) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y + z}]$ .

$(x - z) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y + z}]$

Schritt 1.2

Schreibe $\frac{1}{y + z}$ als ${(y + z)}^{- 1}$ um.

$(x - z) \frac{d}{d y} [{(y + z)}^{- 1}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = y^{- 1}$ und $g (y) = y + z$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y + z$ .

$(x - z) (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d y} [y + z])$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$(x - z) (- u^{- 2} \frac{d}{d y} [y + z])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $y + z$ .

$(x - z) (- {(y + z)}^{- 2} \frac{d}{d y} [y + z])$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y + z$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [z]$ .

$(x - z) (- {(y + z)}^{- 2} (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [z]))$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(x - z) (- {(y + z)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d y} [z]))$

Schritt 3.3

Da $z$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $z$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$(x - z) (- {(y + z)}^{- 2} (1 + 0))$

Schritt 3.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$(x - z) (- {(y + z)}^{- 2} \cdot 1)$

Schritt 3.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$(x - z) (- {(y + z)}^{- 2})$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(x - z) (- \frac{1}{{(y + z)}^{2}})$

Schritt 4.2

Stelle die Faktoren von $(x - z) (- \frac{1}{{(y + z)}^{2}})$ um.

$- (x - z) \frac{1}{{(y + z)}^{2}}$

Schritt 4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(- x - - z) \frac{1}{{(y + z)}^{2}}$

Schritt 4.4

Multipliziere $- - z$ .

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Schritt 4.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$(- x + 1 z) \frac{1}{{(y + z)}^{2}}$

Schritt 4.4.2

Mutltipliziere $z$ mit $1$ .

$(- x + z) \frac{1}{{(y + z)}^{2}}$

Schritt 4.5

Mutltipliziere $- x + z$ mit $\frac{1}{{(y + z)}^{2}}$ .

$\frac{- x + z}{{(y + z)}^{2}}$

Schritt 4.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{- (x) + z}{{(y + z)}^{2}}$

Schritt 4.7

Faktorisiere $- 1$ aus $z$ heraus.

$\frac{- (x) - 1 (- z)}{{(y + z)}^{2}}$

Schritt 4.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (- z)$ heraus.

$\frac{- (x - z)}{{(y + z)}^{2}}$

Schritt 4.9

Schreibe $- (x - z)$ als $- 1 (x - z)$ um.

$\frac{- 1 (x - z)}{{(y + z)}^{2}}$

Schritt 4.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x - z}{{(y + z)}^{2}}$