Analysis Beispiele

${(\frac{1}{y^{9}})}^{6}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = y^{6}$ und $g (y) = \frac{1}{y^{9}}$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{1}{y^{9}}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{6}] \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{9}}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 6$ .

$6 u^{5} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{9}}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{1}{y^{9}}$ .

$6 {(\frac{1}{y^{9}})}^{5} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{9}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 2.1

Schreibe $\frac{1}{y^{9}}$ als ${(y^{9})}^{- 1}$ um.

$6 {(\frac{1}{y^{9}})}^{5} \frac{d}{d y} [{(y^{9})}^{- 1}]$

Schritt 2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{9})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 {(\frac{1}{y^{9}})}^{5} \frac{d}{d y} [y^{9 \cdot - 1}]$

Schritt 2.2.2

Mutltipliziere $9$ mit $- 1$ .

$6 {(\frac{1}{y^{9}})}^{5} \frac{d}{d y} [y^{- 9}]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = - 9$ .

$6 {(\frac{1}{y^{9}})}^{5} (- 9 y^{- 10})$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $- 9$ mit $6$ .

$- 54 {(\frac{1}{y^{9}})}^{5} y^{- 10}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 54 {(\frac{1}{y^{9}})}^{5} \frac{1}{y^{10}}$

Schritt 3.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{y^{9}}$ an.

$- 54 \frac{1^{5}}{{(y^{9})}^{5}} \frac{1}{y^{10}}$

Schritt 3.3

Vereine die Terme

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Schritt 3.3.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- 54 \frac{1}{{(y^{9})}^{5}} \frac{1}{y^{10}}$

Schritt 3.3.2

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{9})}^{5}$ .

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Schritt 3.3.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 54 \frac{1}{y^{9 \cdot 5}} \frac{1}{y^{10}}$

Schritt 3.3.2.2

Mutltipliziere $9$ mit $5$ .

$- 54 \frac{1}{y^{45}} \frac{1}{y^{10}}$

Schritt 3.3.3

Kombiniere $- 54$ und $\frac{1}{y^{45}}$ .

$\frac{- 54}{y^{45}} \cdot \frac{1}{y^{10}}$

Schritt 3.3.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{54}{y^{45}} \cdot \frac{1}{y^{10}}$

Schritt 3.3.5

Mutltipliziere $\frac{1}{y^{10}}$ mit $\frac{54}{y^{45}}$ .

$- \frac{54}{y^{10} y^{45}}$

Schritt 3.3.6

Multipliziere $y^{10}$ mit $y^{45}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.6.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{54}{y^{10 + 45}}$

Schritt 3.3.6.2

Addiere $10$ und $45$ .

$- \frac{54}{y^{55}}$