Analysis Beispiele

${(\frac{e^{y} - e^{- y}}{2})}^{2}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = y^{2}$ und $g (y) = \frac{e^{y} - e^{- y}}{2}$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\frac{e^{y} - e^{- y}}{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d y} [\frac{e^{y} - e^{- y}}{2}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d y} [\frac{e^{y} - e^{- y}}{2}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\frac{e^{y} - e^{- y}}{2}$ .

$2 \frac{e^{y} - e^{- y}}{2} \frac{d}{d y} [\frac{e^{y} - e^{- y}}{2}]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{e^{y} - e^{- y}}{2}$ .

$\frac{2 (e^{y} - e^{- y})}{2} \frac{d}{d y} [\frac{e^{y} - e^{- y}}{2}]$

Schritt 2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (e^{y} - e^{- y})}{2} \frac{d}{d y} [\frac{e^{y} - e^{- y}}{2}]$

Schritt 2.2.2

Dividiere $e^{y} - e^{- y}$ durch $1$ .

$(e^{y} - e^{- y}) \frac{d}{d y} [\frac{e^{y} - e^{- y}}{2}]$

Schritt 2.3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $\frac{e^{y} - e^{- y}}{2}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d y} [e^{y} - e^{- y}]$ .

$(e^{y} - e^{- y}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d y} [e^{y} - e^{- y}])$

Schritt 2.4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{y} - e^{- y}$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [e^{y}] + \frac{d}{d y} [- e^{- y}]$ .

$(e^{y} - e^{- y}) \frac{1}{2} (\frac{d}{d y} [e^{y}] + \frac{d}{d y} [- e^{- y}])$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ gleich $a^{y} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$(e^{y} - e^{- y}) \frac{1}{2} (e^{y} + \frac{d}{d y} [- e^{- y}])$

Schritt 4

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- e^{- y}$ nach $y$ gleich $- \frac{d}{d y} [e^{- y}]$ .

$(e^{y} - e^{- y}) \frac{1}{2} (e^{y} - \frac{d}{d y} [e^{- y}])$

Schritt 5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = e^{y}$ und $g (y) = - y$ .

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Schritt 5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $- y$ .

$(e^{y} - e^{- y}) \frac{1}{2} (e^{y} - (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d y} [- y]))$

Schritt 5.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ gleich $a^{u_{2}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$(e^{y} - e^{- y}) \frac{1}{2} (e^{y} - (e^{u_{2}} \frac{d}{d y} [- y]))$

Schritt 5.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $- y$ .

$(e^{y} - e^{- y}) \frac{1}{2} (e^{y} - (e^{- y} \frac{d}{d y} [- y]))$

Schritt 6

Differenziere.

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Schritt 6.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- y$ nach $y$ gleich $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$(e^{y} - e^{- y}) \frac{1}{2} (e^{y} - e^{- y} (- \frac{d}{d y} [y]))$

Schritt 6.2

Multipliziere.

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Schritt 6.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$(e^{y} - e^{- y}) \frac{1}{2} (e^{y} + 1 e^{- y} \frac{d}{d y} [y])$

Schritt 6.2.2

Mutltipliziere $e^{- y}$ mit $1$ .

$(e^{y} - e^{- y}) \frac{1}{2} (e^{y} + e^{- y} \frac{d}{d y} [y])$

Schritt 6.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(e^{y} - e^{- y}) \frac{1}{2} (e^{y} + e^{- y} \cdot 1)$

Schritt 6.4

Mutltipliziere $e^{- y}$ mit $1$ .

$(e^{y} - e^{- y}) \frac{1}{2} (e^{y} + e^{- y})$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(e^{y} \frac{1}{2} - e^{- y} \frac{1}{2}) (e^{y} + e^{- y})$

Schritt 7.2

Vereine die Terme

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Schritt 7.2.1

Kombiniere $e^{y}$ und $\frac{1}{2}$ .

$(\frac{e^{y}}{2} - e^{- y} \frac{1}{2}) (e^{y} + e^{- y})$

Schritt 7.2.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $e^{- y}$ .

$(\frac{e^{y}}{2} - \frac{e^{- y}}{2}) (e^{y} + e^{- y})$

Schritt 7.3

Stelle die Faktoren von $(\frac{e^{y}}{2} - \frac{e^{- y}}{2}) (e^{y} + e^{- y})$ um.

$(e^{y} + e^{- y}) (\frac{e^{y}}{2} - \frac{e^{- y}}{2})$

Schritt 7.4

Multipliziere $(e^{y} + e^{- y}) (\frac{e^{y}}{2} - \frac{e^{- y}}{2})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 7.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$e^{y} (\frac{e^{y}}{2} - \frac{e^{- y}}{2}) + e^{- y} (\frac{e^{y}}{2} - \frac{e^{- y}}{2})$

Schritt 7.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$e^{y} \frac{e^{y}}{2} + e^{y} (- \frac{e^{- y}}{2}) + e^{- y} (\frac{e^{y}}{2} - \frac{e^{- y}}{2})$

Schritt 7.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$e^{y} \frac{e^{y}}{2} + e^{y} (- \frac{e^{- y}}{2}) + e^{- y} \frac{e^{y}}{2} + e^{- y} (- \frac{e^{- y}}{2})$

Schritt 7.5

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 7.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.5.1.1

Multipliziere $e^{y} \frac{e^{y}}{2}$ .

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Schritt 7.5.1.1.1

Kombiniere $e^{y}$ und $\frac{e^{y}}{2}$ .

$\frac{e^{y} e^{y}}{2} + e^{y} (- \frac{e^{- y}}{2}) + e^{- y} \frac{e^{y}}{2} + e^{- y} (- \frac{e^{- y}}{2})$

Schritt 7.5.1.1.2

Multipliziere $e^{y}$ mit $e^{y}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.5.1.1.2.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{e^{y + y}}{2} + e^{y} (- \frac{e^{- y}}{2}) + e^{- y} \frac{e^{y}}{2} + e^{- y} (- \frac{e^{- y}}{2})$

Schritt 7.5.1.1.2.2

Addiere $y$ und $y$ .

$\frac{e^{2 y}}{2} + e^{y} (- \frac{e^{- y}}{2}) + e^{- y} \frac{e^{y}}{2} + e^{- y} (- \frac{e^{- y}}{2})$

Schritt 7.5.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{e^{2 y}}{2} - e^{y} \frac{e^{- y}}{2} + e^{- y} \frac{e^{y}}{2} + e^{- y} (- \frac{e^{- y}}{2})$

Schritt 7.5.1.3

Multipliziere $- e^{y} \frac{e^{- y}}{2}$ .

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Schritt 7.5.1.3.1

Kombiniere $\frac{e^{- y}}{2}$ und $e^{y}$ .

$\frac{e^{2 y}}{2} - \frac{e^{- y} e^{y}}{2} + e^{- y} \frac{e^{y}}{2} + e^{- y} (- \frac{e^{- y}}{2})$

Schritt 7.5.1.3.2

Multipliziere $e^{- y}$ mit $e^{y}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.5.1.3.2.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{e^{2 y}}{2} - \frac{e^{- y + y}}{2} + e^{- y} \frac{e^{y}}{2} + e^{- y} (- \frac{e^{- y}}{2})$

Schritt 7.5.1.3.2.2

Addiere $- y$ und $y$ .

$\frac{e^{2 y}}{2} - \frac{e^{0}}{2} + e^{- y} \frac{e^{y}}{2} + e^{- y} (- \frac{e^{- y}}{2})$

Schritt 7.5.1.3.3

Vereinfache $e^{0}$ .

$\frac{e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2} + e^{- y} \frac{e^{y}}{2} + e^{- y} (- \frac{e^{- y}}{2})$

Schritt 7.5.1.4

Multipliziere $e^{- y} \frac{e^{y}}{2}$ .

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Schritt 7.5.1.4.1

Kombiniere $e^{- y}$ und $\frac{e^{y}}{2}$ .

$\frac{e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2} + \frac{e^{- y} e^{y}}{2} + e^{- y} (- \frac{e^{- y}}{2})$

Schritt 7.5.1.4.2

Multipliziere $e^{- y}$ mit $e^{y}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.5.1.4.2.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2} + \frac{e^{- y + y}}{2} + e^{- y} (- \frac{e^{- y}}{2})$

Schritt 7.5.1.4.2.2

Addiere $- y$ und $y$ .

$\frac{e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2} + \frac{e^{0}}{2} + e^{- y} (- \frac{e^{- y}}{2})$

Schritt 7.5.1.4.3

Vereinfache $e^{0}$ .

$\frac{e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + e^{- y} (- \frac{e^{- y}}{2})$

Schritt 7.5.1.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - e^{- y} \frac{e^{- y}}{2}$

Schritt 7.5.1.6

Multipliziere $- e^{- y} \frac{e^{- y}}{2}$ .

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Schritt 7.5.1.6.1

Kombiniere $\frac{e^{- y}}{2}$ und $e^{- y}$ .

$\frac{e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{e^{- y} e^{- y}}{2}$

Schritt 7.5.1.6.2

Multipliziere $e^{- y}$ mit $e^{- y}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.5.1.6.2.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{e^{- y - y}}{2}$

Schritt 7.5.1.6.2.2

Subtrahiere $y$ von $- y$ .

$\frac{e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{e^{- 2 y}}{2}$

Schritt 7.5.2

Addiere $- \frac{1}{2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{e^{2 y}}{2} + 0 - \frac{e^{- 2 y}}{2}$

Schritt 7.5.3

Addiere $\frac{e^{2 y}}{2}$ und $0$ .

$\frac{e^{2 y}}{2} - \frac{e^{- 2 y}}{2}$