Analysis Beispiele

$\frac{y e^{x} + x e^{x} - e^{x}}{{(y + x)}^{2}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ gleich $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ ist mit $f (y) = y e^{x} + x e^{x} - e^{x}$ und $g (y) = {(y + x)}^{2}$ .

$\frac{{(y + x)}^{2} \frac{d}{d y} [y e^{x} + x e^{x} - e^{x}] - (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) \frac{d}{d y} [{(y + x)}^{2}]}{{({(y + x)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(y + x)}^{2})}^{2}$ .

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Schritt 2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(y + x)}^{2} \frac{d}{d y} [y e^{x} + x e^{x} - e^{x}] - (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) \frac{d}{d y} [{(y + x)}^{2}]}{{(y + x)}^{2 \cdot 2}}$

Schritt 2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{{(y + x)}^{2} \frac{d}{d y} [y e^{x} + x e^{x} - e^{x}] - (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) \frac{d}{d y} [{(y + x)}^{2}]}{{(y + x)}^{4}}$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y e^{x} + x e^{x} - e^{x}$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y e^{x}] + \frac{d}{d y} [x e^{x}] + \frac{d}{d y} [- e^{x}]$ .

$\frac{{(y + x)}^{2} (\frac{d}{d y} [y e^{x}] + \frac{d}{d y} [x e^{x}] + \frac{d}{d y} [- e^{x}]) - (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) \frac{d}{d y} [{(y + x)}^{2}]}{{(y + x)}^{4}}$

Schritt 2.3

Da $e^{x}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $y e^{x}$ nach $y$ gleich $e^{x} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{{(y + x)}^{2} (e^{x} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [x e^{x}] + \frac{d}{d y} [- e^{x}]) - (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) \frac{d}{d y} [{(y + x)}^{2}]}{{(y + x)}^{4}}$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{{(y + x)}^{2} (e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [x e^{x}] + \frac{d}{d y} [- e^{x}]) - (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) \frac{d}{d y} [{(y + x)}^{2}]}{{(y + x)}^{4}}$

Schritt 2.5

Mutltipliziere $e^{x}$ mit $1$ .

$\frac{{(y + x)}^{2} (e^{x} + \frac{d}{d y} [x e^{x}] + \frac{d}{d y} [- e^{x}]) - (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) \frac{d}{d y} [{(y + x)}^{2}]}{{(y + x)}^{4}}$

Schritt 2.6

Da $x e^{x}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $x e^{x}$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{{(y + x)}^{2} (e^{x} + 0 + \frac{d}{d y} [- e^{x}]) - (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) \frac{d}{d y} [{(y + x)}^{2}]}{{(y + x)}^{4}}$

Schritt 2.7

Addiere $e^{x}$ und $0$ .

$\frac{{(y + x)}^{2} (e^{x} + \frac{d}{d y} [- e^{x}]) - (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) \frac{d}{d y} [{(y + x)}^{2}]}{{(y + x)}^{4}}$

Schritt 2.8

Da $- e^{x}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- e^{x}$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{{(y + x)}^{2} (e^{x} + 0) - (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) \frac{d}{d y} [{(y + x)}^{2}]}{{(y + x)}^{4}}$

Schritt 2.9

Addiere $e^{x}$ und $0$ .

$\frac{{(y + x)}^{2} e^{x} - (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) \frac{d}{d y} [{(y + x)}^{2}]}{{(y + x)}^{4}}$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = y^{2}$ und $g (y) = y + x$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y + x$ .

$\frac{{(y + x)}^{2} e^{x} - (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d y} [y + x])}{{(y + x)}^{4}}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{{(y + x)}^{2} e^{x} - (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) (2 u \frac{d}{d y} [y + x])}{{(y + x)}^{4}}$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u$ durch $y + x$ .

$\frac{{(y + x)}^{2} e^{x} - (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) (2 (y + x) \frac{d}{d y} [y + x])}{{(y + x)}^{4}}$

Schritt 4

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{{(y + x)}^{2} e^{x} - 2 (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) ((y + x) \frac{d}{d y} [y + x])}{{(y + x)}^{4}}$

Schritt 4.2

Faktorisiere $y + x$ aus ${(y + x)}^{2} e^{x} - 2 (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) ((y + x) \frac{d}{d y} [y + x])$ heraus.

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $y + x$ aus ${(y + x)}^{2} e^{x}$ heraus.

$\frac{(y + x) ((y + x) e^{x}) - 2 (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) ((y + x) \frac{d}{d y} [y + x])}{{(y + x)}^{4}}$

Schritt 4.2.2

Faktorisiere $y + x$ aus $- 2 (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) ((y + x) \frac{d}{d y} [y + x])$ heraus.

$\frac{(y + x) ((y + x) e^{x}) + (y + x) (- 2 (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) (\frac{d}{d y} [y + x]))}{{(y + x)}^{4}}$

Schritt 4.2.3

Faktorisiere $y + x$ aus $(y + x) ((y + x) e^{x}) + (y + x) (- 2 (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) (\frac{d}{d y} [y + x]))$ heraus.

$\frac{(y + x) ((y + x) e^{x} - 2 (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) (\frac{d}{d y} [y + x]))}{{(y + x)}^{4}}$

Schritt 5

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $y + x$ aus ${(y + x)}^{4}$ heraus.

$\frac{(y + x) ((y + x) e^{x} - 2 (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) (\frac{d}{d y} [y + x]))}{(y + x) {(y + x)}^{3}}$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(y + x) ((y + x) e^{x} - 2 (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) (\frac{d}{d y} [y + x]))}{(y + x) {(y + x)}^{3}}$

Schritt 5.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(y + x) e^{x} - 2 (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) (\frac{d}{d y} [y + x])}{{(y + x)}^{3}}$

Schritt 6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y + x$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [x]$ .

$\frac{(y + x) e^{x} - 2 (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [x])}{{(y + x)}^{3}}$

Schritt 7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(y + x) e^{x} - 2 (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) (1 + \frac{d}{d y} [x])}{{(y + x)}^{3}}$

Schritt 8

Da $x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $x$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{(y + x) e^{x} - 2 (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) (1 + 0)}{{(y + x)}^{3}}$

Schritt 9

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 9.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{(y + x) e^{x} - 2 (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) \cdot 1}{{(y + x)}^{3}}$

Schritt 9.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\frac{(y + x) e^{x} - 2 (y e^{x} + x e^{x} - e^{x})}{{(y + x)}^{3}}$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{y e^{x} + x e^{x} - 2 (y e^{x} + x e^{x} - e^{x})}{{(y + x)}^{3}}$

Schritt 10.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{y e^{x} + x e^{x} - 2 (y e^{x}) - 2 (x e^{x}) - 2 (- e^{x})}{{(y + x)}^{3}}$

Schritt 10.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$\frac{y e^{x} + x e^{x} - 2 y e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}}{{(y + x)}^{3}}$

Schritt 10.3.2

Subtrahiere $2 y e^{x}$ von $y e^{x}$ .

$\frac{- y e^{x} + x e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}}{{(y + x)}^{3}}$

Schritt 10.3.3

Subtrahiere $2 x e^{x}$ von $x e^{x}$ .

$\frac{- y e^{x} - x e^{x} + 2 e^{x}}{{(y + x)}^{3}}$

Schritt 10.4

Stelle die Terme um.

$\frac{- e^{x} y - e^{x} x + 2 e^{x}}{{(x + y)}^{3}}$

Schritt 10.5

Faktorisiere $e^{x}$ aus $- e^{x} y - e^{x} x + 2 e^{x}$ heraus.

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Schritt 10.5.1

Faktorisiere $e^{x}$ aus $- e^{x} y$ heraus.

$\frac{e^{x} (- y) - e^{x} x + 2 e^{x}}{{(x + y)}^{3}}$

Schritt 10.5.2

Faktorisiere $e^{x}$ aus $- e^{x} x$ heraus.

$\frac{e^{x} (- y) + e^{x} (- x) + 2 e^{x}}{{(x + y)}^{3}}$

Schritt 10.5.3

Faktorisiere $e^{x}$ aus $2 e^{x}$ heraus.

$\frac{e^{x} (- y) + e^{x} (- x) + e^{x} \cdot 2}{{(x + y)}^{3}}$

Schritt 10.5.4

Faktorisiere $e^{x}$ aus $e^{x} (- y) + e^{x} (- x)$ heraus.

$\frac{e^{x} (- y - x) + e^{x} \cdot 2}{{(x + y)}^{3}}$

Schritt 10.5.5

Faktorisiere $e^{x}$ aus $e^{x} (- y - x) + e^{x} \cdot 2$ heraus.

$\frac{e^{x} (- y - x + 2)}{{(x + y)}^{3}}$

Schritt 10.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- y$ heraus.

$\frac{e^{x} (- (y) - x + 2)}{{(x + y)}^{3}}$

Schritt 10.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{e^{x} (- (y) - (x) + 2)}{{(x + y)}^{3}}$

Schritt 10.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- (y) - (x)$ heraus.

$\frac{e^{x} (- (y + x) + 2)}{{(x + y)}^{3}}$

Schritt 10.9

Schreibe $2$ als $- 1 (- 2)$ um.

$\frac{e^{x} (- (y + x) - 1 (- 2))}{{(x + y)}^{3}}$

Schritt 10.10

Faktorisiere $- 1$ aus $- (y + x) - 1 (- 2)$ heraus.

$\frac{e^{x} (- (y + x - 2))}{{(x + y)}^{3}}$

Schritt 10.11

Schreibe $- (y + x - 2)$ als $- 1 (y + x - 2)$ um.

$\frac{e^{x} (- 1 (y + x - 2))}{{(x + y)}^{3}}$

Schritt 10.12

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{e^{x} (y + x - 2)}{{(x + y)}^{3}}$