Analysis Beispiele

$y = x {(x^{3} + 7)}^{5}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = {(x^{3} + 7)}^{5}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(x^{3} + 7)}^{5}] + {(x^{3} + 7)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{5}$ und $g (x) = x^{3} + 7$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{3} + 7$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [x^{3} + 7]) + {(x^{3} + 7)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$x (5 u^{4} \frac{d}{d x} [x^{3} + 7]) + {(x^{3} + 7)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{3} + 7$ .

$x (5 {(x^{3} + 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3} + 7]) + {(x^{3} + 7)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} + 7$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$x (5 {(x^{3} + 7)}^{4} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [7])) + {(x^{3} + 7)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$x (5 {(x^{3} + 7)}^{4} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [7])) + {(x^{3} + 7)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.3

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$x (5 {(x^{3} + 7)}^{4} (3 x^{2} + 0)) + {(x^{3} + 7)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.4.1

Addiere $3 x^{2}$ und $0$ .

$x (5 {(x^{3} + 7)}^{4} (3 x^{2})) + {(x^{3} + 7)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$x (15 {(x^{3} + 7)}^{4} x^{2}) + {(x^{3} + 7)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{2} x^{1} (15 {(x^{3} + 7)}^{4}) + {(x^{3} + 7)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{2 + 1} (15 {(x^{3} + 7)}^{4}) + {(x^{3} + 7)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 6

Addiere $2$ und $1$ .

$x^{3} (15 {(x^{3} + 7)}^{4}) + {(x^{3} + 7)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x^{3} (15 {(x^{3} + 7)}^{4}) + {(x^{3} + 7)}^{5} \cdot 1$

Schritt 8

Mutltipliziere ${(x^{3} + 7)}^{5}$ mit $1$ .

$x^{3} (15 {(x^{3} + 7)}^{4}) + {(x^{3} + 7)}^{5}$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Faktorisiere ${(x^{3} + 7)}^{4}$ aus $x^{3} (15 {(x^{3} + 7)}^{4}) + {(x^{3} + 7)}^{5}$ heraus.

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Schritt 9.1.1

Faktorisiere ${(x^{3} + 7)}^{4}$ aus $x^{3} (15 {(x^{3} + 7)}^{4})$ heraus.

${(x^{3} + 7)}^{4} (x^{3} \cdot (15)) + {(x^{3} + 7)}^{5}$

Schritt 9.1.2

Faktorisiere ${(x^{3} + 7)}^{4}$ aus ${(x^{3} + 7)}^{5}$ heraus.

${(x^{3} + 7)}^{4} (x^{3} \cdot (15)) + {(x^{3} + 7)}^{4} (x^{3} + 7)$

Schritt 9.1.3

Faktorisiere ${(x^{3} + 7)}^{4}$ aus ${(x^{3} + 7)}^{4} (x^{3} \cdot (15)) + {(x^{3} + 7)}^{4} (x^{3} + 7)$ heraus.

${(x^{3} + 7)}^{4} (x^{3} \cdot (15) + x^{3} + 7)$

Schritt 9.2

Vereine die Terme

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Schritt 9.2.1

Bringe $15$ auf die linke Seite von $x^{3}$ .

${(x^{3} + 7)}^{4} (15 \cdot x^{3} + x^{3} + 7)$

Schritt 9.2.2

Addiere $15 x^{3}$ und $x^{3}$ .

${(x^{3} + 7)}^{4} (16 x^{3} + 7)$