Analysis Beispiele

$y = x {(x^{4} + 7)}^{3}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = {(x^{4} + 7)}^{3}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 7)}^{3}] + {(x^{4} + 7)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = x^{4} + 7$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{4} + 7$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x^{4} + 7]) + {(x^{4} + 7)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x^{4} + 7]) + {(x^{4} + 7)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{4} + 7$ .

$x (3 {(x^{4} + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4} + 7]) + {(x^{4} + 7)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} + 7$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$x (3 {(x^{4} + 7)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [7])) + {(x^{4} + 7)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$x (3 {(x^{4} + 7)}^{2} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [7])) + {(x^{4} + 7)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.3

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$x (3 {(x^{4} + 7)}^{2} (4 x^{3} + 0)) + {(x^{4} + 7)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.4.1

Addiere $4 x^{3}$ und $0$ .

$x (3 {(x^{4} + 7)}^{2} (4 x^{3})) + {(x^{4} + 7)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.4.2

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$x (12 {(x^{4} + 7)}^{2} x^{3}) + {(x^{4} + 7)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{3} x^{1} (12 {(x^{4} + 7)}^{2}) + {(x^{4} + 7)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{3 + 1} (12 {(x^{4} + 7)}^{2}) + {(x^{4} + 7)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 6

Addiere $3$ und $1$ .

$x^{4} (12 {(x^{4} + 7)}^{2}) + {(x^{4} + 7)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x^{4} (12 {(x^{4} + 7)}^{2}) + {(x^{4} + 7)}^{3} \cdot 1$

Schritt 8

Mutltipliziere ${(x^{4} + 7)}^{3}$ mit $1$ .

$x^{4} (12 {(x^{4} + 7)}^{2}) + {(x^{4} + 7)}^{3}$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Faktorisiere ${(x^{4} + 7)}^{2}$ aus $x^{4} (12 {(x^{4} + 7)}^{2}) + {(x^{4} + 7)}^{3}$ heraus.

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Schritt 9.1.1

Faktorisiere ${(x^{4} + 7)}^{2}$ aus $x^{4} (12 {(x^{4} + 7)}^{2})$ heraus.

${(x^{4} + 7)}^{2} (x^{4} \cdot (12)) + {(x^{4} + 7)}^{3}$

Schritt 9.1.2

Faktorisiere ${(x^{4} + 7)}^{2}$ aus ${(x^{4} + 7)}^{3}$ heraus.

${(x^{4} + 7)}^{2} (x^{4} \cdot (12)) + {(x^{4} + 7)}^{2} (x^{4} + 7)$

Schritt 9.1.3

Faktorisiere ${(x^{4} + 7)}^{2}$ aus ${(x^{4} + 7)}^{2} (x^{4} \cdot (12)) + {(x^{4} + 7)}^{2} (x^{4} + 7)$ heraus.

${(x^{4} + 7)}^{2} (x^{4} \cdot (12) + x^{4} + 7)$

Schritt 9.2

Vereine die Terme

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Schritt 9.2.1

Bringe $12$ auf die linke Seite von $x^{4}$ .

${(x^{4} + 7)}^{2} (12 \cdot x^{4} + x^{4} + 7)$

Schritt 9.2.2

Addiere $12 x^{4}$ und $x^{4}$ .

${(x^{4} + 7)}^{2} (13 x^{4} + 7)$

Schritt 9.3

Schreibe ${(x^{4} + 7)}^{2}$ als $(x^{4} + 7) (x^{4} + 7)$ um.

$(x^{4} + 7) (x^{4} + 7) (13 x^{4} + 7)$

Schritt 9.4

Multipliziere $(x^{4} + 7) (x^{4} + 7)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 9.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(x^{4} (x^{4} + 7) + 7 (x^{4} + 7)) (13 x^{4} + 7)$

Schritt 9.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(x^{4} x^{4} + x^{4} \cdot 7 + 7 (x^{4} + 7)) (13 x^{4} + 7)$

Schritt 9.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(x^{4} x^{4} + x^{4} \cdot 7 + 7 x^{4} + 7 \cdot 7) (13 x^{4} + 7)$

Schritt 9.5

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 9.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.5.1.1

Multipliziere $x^{4}$ mit $x^{4}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 9.5.1.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(x^{4 + 4} + x^{4} \cdot 7 + 7 x^{4} + 7 \cdot 7) (13 x^{4} + 7)$

Schritt 9.5.1.1.2

Addiere $4$ und $4$ .

$(x^{8} + x^{4} \cdot 7 + 7 x^{4} + 7 \cdot 7) (13 x^{4} + 7)$

Schritt 9.5.1.2

Bringe $7$ auf die linke Seite von $x^{4}$ .

$(x^{8} + 7 \cdot x^{4} + 7 x^{4} + 7 \cdot 7) (13 x^{4} + 7)$

Schritt 9.5.1.3

Mutltipliziere $7$ mit $7$ .

$(x^{8} + 7 x^{4} + 7 x^{4} + 49) (13 x^{4} + 7)$

Schritt 9.5.2

Addiere $7 x^{4}$ und $7 x^{4}$ .

$(x^{8} + 14 x^{4} + 49) (13 x^{4} + 7)$

Schritt 9.6

Multipliziere $(x^{8} + 14 x^{4} + 49) (13 x^{4} + 7)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$x^{8} (13 x^{4}) + x^{8} \cdot 7 + 14 x^{4} (13 x^{4}) + 14 x^{4} \cdot 7 + 49 (13 x^{4}) + 49 \cdot 7$

Schritt 9.7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.7.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$13 x^{8} x^{4} + x^{8} \cdot 7 + 14 x^{4} (13 x^{4}) + 14 x^{4} \cdot 7 + 49 (13 x^{4}) + 49 \cdot 7$

Schritt 9.7.2

Multipliziere $x^{8}$ mit $x^{4}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 9.7.2.1

Bewege $x^{4}$ .

$13 (x^{4} x^{8}) + x^{8} \cdot 7 + 14 x^{4} (13 x^{4}) + 14 x^{4} \cdot 7 + 49 (13 x^{4}) + 49 \cdot 7$

Schritt 9.7.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$13 x^{4 + 8} + x^{8} \cdot 7 + 14 x^{4} (13 x^{4}) + 14 x^{4} \cdot 7 + 49 (13 x^{4}) + 49 \cdot 7$

Schritt 9.7.2.3

Addiere $4$ und $8$ .

$13 x^{12} + x^{8} \cdot 7 + 14 x^{4} (13 x^{4}) + 14 x^{4} \cdot 7 + 49 (13 x^{4}) + 49 \cdot 7$

Schritt 9.7.3

Bringe $7$ auf die linke Seite von $x^{8}$ .

$13 x^{12} + 7 \cdot x^{8} + 14 x^{4} (13 x^{4}) + 14 x^{4} \cdot 7 + 49 (13 x^{4}) + 49 \cdot 7$

Schritt 9.7.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$13 x^{12} + 7 x^{8} + 14 \cdot 13 x^{4} x^{4} + 14 x^{4} \cdot 7 + 49 (13 x^{4}) + 49 \cdot 7$

Schritt 9.7.5

Multipliziere $x^{4}$ mit $x^{4}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 9.7.5.1

Bewege $x^{4}$ .

$13 x^{12} + 7 x^{8} + 14 \cdot 13 (x^{4} x^{4}) + 14 x^{4} \cdot 7 + 49 (13 x^{4}) + 49 \cdot 7$

Schritt 9.7.5.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$13 x^{12} + 7 x^{8} + 14 \cdot 13 x^{4 + 4} + 14 x^{4} \cdot 7 + 49 (13 x^{4}) + 49 \cdot 7$

Schritt 9.7.5.3

Addiere $4$ und $4$ .

$13 x^{12} + 7 x^{8} + 14 \cdot 13 x^{8} + 14 x^{4} \cdot 7 + 49 (13 x^{4}) + 49 \cdot 7$

Schritt 9.7.6

Mutltipliziere $14$ mit $13$ .

$13 x^{12} + 7 x^{8} + 182 x^{8} + 14 x^{4} \cdot 7 + 49 (13 x^{4}) + 49 \cdot 7$

Schritt 9.7.7

Mutltipliziere $7$ mit $14$ .

$13 x^{12} + 7 x^{8} + 182 x^{8} + 98 x^{4} + 49 (13 x^{4}) + 49 \cdot 7$

Schritt 9.7.8

Mutltipliziere $13$ mit $49$ .

$13 x^{12} + 7 x^{8} + 182 x^{8} + 98 x^{4} + 637 x^{4} + 49 \cdot 7$

Schritt 9.7.9

Mutltipliziere $49$ mit $7$ .

$13 x^{12} + 7 x^{8} + 182 x^{8} + 98 x^{4} + 637 x^{4} + 343$

Schritt 9.8

Addiere $7 x^{8}$ und $182 x^{8}$ .

$13 x^{12} + 189 x^{8} + 98 x^{4} + 637 x^{4} + 343$

Schritt 9.9

Addiere $98 x^{4}$ und $637 x^{4}$ .

$13 x^{12} + 189 x^{8} + 735 x^{4} + 343$