Analysis Beispiele

$y = x \ln^{2} (3 x)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = \ln^{2} (3 x)$ .

$x \frac{d}{d x} [\ln^{2} (3 x)] + \ln^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \ln (3 x)$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\ln (3 x)$ .

$x (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\ln (3 x)]) + \ln^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\ln (3 x)]) + \ln^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\ln (3 x)$ .

$x (2 \ln (3 x) \frac{d}{d x} [\ln (3 x)]) + \ln^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 3 x$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $3 x$ .

$x (2 \ln (3 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])) + \ln^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.2

Die Ableitung von $\ln (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\frac{1}{u_{2}}$ .

$x (2 \ln (3 x) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [3 x])) + \ln^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $3 x$ .

$x (2 \ln (3 x) (\frac{1}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x])) + \ln^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Kombiniere $\frac{1}{3 x}$ und $2$ .

$x (\frac{2}{3 x} \ln (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]) + \ln^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.2.1

Kombiniere $\frac{2}{3 x}$ und $\ln (3 x)$ .

$x (\frac{2 \ln (3 x)}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) + \ln^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.2.2

Kombiniere $\frac{2 \ln (3 x)}{3 x}$ und $x$ .

$\frac{2 \ln (3 x) x}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x] + \ln^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 4.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \ln (3 x) x}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x] + \ln^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 \ln (3 x)}{3} \frac{d}{d x} [3 x] + \ln^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 \ln (3 x)}{3} (3 \frac{d}{d x} [x]) + \ln^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.4.1

Kombiniere $3$ und $\frac{2 \ln (3 x)}{3}$ .

$\frac{3 (2 \ln (3 x))}{3} \frac{d}{d x} [x] + \ln^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{6 \ln (3 x)}{3} \frac{d}{d x} [x] + \ln^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.4.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $3$ .

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Schritt 4.4.3.1

Faktorisiere $3$ aus $6 \ln (3 x)$ heraus.

$\frac{3 (2 \ln (3 x))}{3} \frac{d}{d x} [x] + \ln^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.4.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.4.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{3 (2 \ln (3 x))}{3 (1)} \frac{d}{d x} [x] + \ln^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.4.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (2 \ln (3 x))}{3 \cdot 1} \frac{d}{d x} [x] + \ln^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.4.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 \ln (3 x)}{1} \frac{d}{d x} [x] + \ln^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.4.3.2.4

Dividiere $2 \ln (3 x)$ durch $1$ .

$2 \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x] + \ln^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \ln (3 x) \cdot 1 + \ln^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.6

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 \ln (3 x) + \ln^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \ln (3 x) + \ln^{2} (3 x) \cdot 1$

Schritt 4.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.8.1

Mutltipliziere $\ln^{2} (3 x)$ mit $1$ .

$2 \ln (3 x) + \ln^{2} (3 x)$

Schritt 4.8.2

Stelle die Terme um.

$\ln^{2} (3 x) + 2 \ln (3 x)$