Analysis Beispiele

$y = x \coth (3 + x^{2})$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = \coth (3 + x^{2})$ .

$x \frac{d}{d x} [\coth (3 + x^{2})] + \coth (3 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \coth (x)$ und $g (x) = 3 + x^{2}$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 + x^{2}$ .

$x (\frac{d}{d u} [\coth (u)] \frac{d}{d x} [3 + x^{2}]) + \coth (3 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\coth (u)$ nach $u$ ist $- {csch}^{2} (u)$ .

$x (- {csch}^{2} (u) \frac{d}{d x} [3 + x^{2}]) + \coth (3 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $3 + x^{2}$ .

$x (- {csch}^{2} (3 + x^{2}) \frac{d}{d x} [3 + x^{2}]) + \coth (3 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 + x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x (- {csch}^{2} (3 + x^{2}) (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x^{2}])) + \coth (3 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$x (- {csch}^{2} (3 + x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])) + \coth (3 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x (- {csch}^{2} (3 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \coth (3 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x (- {csch}^{2} (3 + x^{2}) (2 x)) + \coth (3 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x (- 2 {csch}^{2} (3 + x^{2}) x) + \coth (3 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{1} x (- 2 {csch}^{2} (3 + x^{2})) + \coth (3 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{1} x^{1} (- 2 {csch}^{2} (3 + x^{2})) + \coth (3 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{1 + 1} (- 2 {csch}^{2} (3 + x^{2})) + \coth (3 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 7

Addiere $1$ und $1$ .

$x^{2} (- 2 {csch}^{2} (3 + x^{2})) + \coth (3 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x^{2} (- 2 {csch}^{2} (3 + x^{2})) + \coth (3 + x^{2}) \cdot 1$

Schritt 9

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 9.1

Mutltipliziere $\coth (3 + x^{2})$ mit $1$ .

$x^{2} (- 2 {csch}^{2} (3 + x^{2})) + \coth (3 + x^{2})$

Schritt 9.2

Stelle die Terme um.

$- 2 x^{2} {csch}^{2} (3 + x^{2}) + \coth (3 + x^{2})$