Analysis Beispiele

$y = x + \sqrt{1 + x^{2}}$

Schritt 1

Differenziere.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + \sqrt{1 + x^{2}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sqrt{1 + x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sqrt{1 + x^{2}}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\sqrt{1 + x^{2}}]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [\sqrt{1 + x^{2}}]$ .

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{1 + x^{2}}$ als ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$1 + \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = 1 + x^{2}$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $1 + x^{2}$ .

$1 + \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$1 + \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $1 + x^{2}$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Schritt 2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 2.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 2 x)$

Schritt 2.6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 + 2 x)$

Schritt 2.7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 + 2 x)$

Schritt 2.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$1 + \frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 + 2 x)$

Schritt 2.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 + 2 x)$

Schritt 2.9.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} (0 + 2 x)$

Schritt 2.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$1 + \frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (0 + 2 x)$

Schritt 2.11

Addiere $0$ und $2 x$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (2 x)$

Schritt 2.12

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$1 + \frac{{(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} (2 x)$

Schritt 2.13

Kombiniere $2$ und $\frac{{(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$1 + \frac{2 {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} x$

Schritt 2.14

Kombiniere $\frac{2 {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ und $x$ .

$1 + \frac{2 {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}} x}{2}$

Schritt 2.15

Bringe ${(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + \frac{2 x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.16

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 + \frac{2 x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.17

Forme den Ausdruck um.

$1 + \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3

Stelle die Terme um.

$\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 1$