Analysis Beispiele

$\frac{7 x^{2}}{{(7 x + 13 y)}^{2}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 1.1

Da $7 x^{2}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $\frac{7 x^{2}}{{(7 x + 13 y)}^{2}}$ nach $y$ gleich $7 x^{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{{(7 x + 13 y)}^{2}}]$ .

$7 x^{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{{(7 x + 13 y)}^{2}}]$

Schritt 1.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 1.2.1

Schreibe $\frac{1}{{(7 x + 13 y)}^{2}}$ als ${({(7 x + 13 y)}^{2})}^{- 1}$ um.

$7 x^{2} \frac{d}{d y} [{({(7 x + 13 y)}^{2})}^{- 1}]$

Schritt 1.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(7 x + 13 y)}^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 1.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$7 x^{2} \frac{d}{d y} [{(7 x + 13 y)}^{2 \cdot - 1}]$

Schritt 1.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$7 x^{2} \frac{d}{d y} [{(7 x + 13 y)}^{- 2}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = y^{- 2}$ und $g (y) = 7 x + 13 y$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $7 x + 13 y$ .

$7 x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d y} [7 x + 13 y])$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 2$ .

$7 x^{2} (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d y} [7 x + 13 y])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $7 x + 13 y$ .

$7 x^{2} (- 2 {(7 x + 13 y)}^{- 3} \frac{d}{d y} [7 x + 13 y])$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $7$ .

$- 14 x^{2} ({(7 x + 13 y)}^{- 3} \frac{d}{d y} [7 x + 13 y])$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $7 x + 13 y$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [7 x] + \frac{d}{d y} [13 y]$ .

$- 14 x^{2} ({(7 x + 13 y)}^{- 3} (\frac{d}{d y} [7 x] + \frac{d}{d y} [13 y]))$

Schritt 3.3

Da $7 x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $7 x$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$- 14 x^{2} ({(7 x + 13 y)}^{- 3} (0 + \frac{d}{d y} [13 y]))$

Schritt 3.4

Addiere $0$ und $\frac{d}{d y} [13 y]$ .

$- 14 x^{2} ({(7 x + 13 y)}^{- 3} \frac{d}{d y} [13 y])$

Schritt 3.5

Da $13$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $13 y$ nach $y$ gleich $13 \frac{d}{d y} [y]$ .

$- 14 x^{2} ({(7 x + 13 y)}^{- 3} (13 \frac{d}{d y} [y]))$

Schritt 3.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.6.1

Bringe $13$ auf die linke Seite von ${(7 x + 13 y)}^{- 3}$ .

$- 14 x^{2} (13 \cdot {(7 x + 13 y)}^{- 3} \frac{d}{d y} [y])$

Schritt 3.6.2

Mutltipliziere $13$ mit $- 14$ .

$- 182 x^{2} ({(7 x + 13 y)}^{- 3} \frac{d}{d y} [y])$

Schritt 3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 182 x^{2} ({(7 x + 13 y)}^{- 3} \cdot 1)$

Schritt 3.8

Mutltipliziere ${(7 x + 13 y)}^{- 3}$ mit $1$ .

$- 182 x^{2} {(7 x + 13 y)}^{- 3}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 182 x^{2} \frac{1}{{(7 x + 13 y)}^{3}}$

Schritt 4.2

Vereine die Terme

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Schritt 4.2.1

Kombiniere $- 182$ und $\frac{1}{{(7 x + 13 y)}^{3}}$ .

$x^{2} \frac{- 182}{{(7 x + 13 y)}^{3}}$

Schritt 4.2.2

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{- 182}{{(7 x + 13 y)}^{3}}$ .

$\frac{x^{2} \cdot - 182}{{(7 x + 13 y)}^{3}}$

Schritt 4.2.3

Bringe $- 182$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$\frac{- 182 \cdot x^{2}}{{(7 x + 13 y)}^{3}}$

Schritt 4.2.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{182 x^{2}}{{(7 x + 13 y)}^{3}}$