Analysis Beispiele

$\frac{x y}{3 x + 8 y}$

Schritt 1

Da $x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x y}{3 x + 8 y}$ nach $y$ gleich $x \frac{d}{d y} [\frac{y}{3 x + 8 y}]$ .

$x \frac{d}{d y} [\frac{y}{3 x + 8 y}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ gleich $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ ist mit $f (y) = y$ und $g (y) = 3 x + 8 y$ .

$x \frac{(3 x + 8 y) \frac{d}{d y} [y] - y \frac{d}{d y} [3 x + 8 y]}{{(3 x + 8 y)}^{2}}$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x \frac{(3 x + 8 y) \cdot 1 - y \frac{d}{d y} [3 x + 8 y]}{{(3 x + 8 y)}^{2}}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $3 x + 8 y$ mit $1$ .

$x \frac{3 x + 8 y - y \frac{d}{d y} [3 x + 8 y]}{{(3 x + 8 y)}^{2}}$

Schritt 3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x + 8 y$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [8 y]$ .

$x \frac{3 x + 8 y - y (\frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [8 y])}{{(3 x + 8 y)}^{2}}$

Schritt 3.4

Da $3 x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$x \frac{3 x + 8 y - y (0 + \frac{d}{d y} [8 y])}{{(3 x + 8 y)}^{2}}$

Schritt 3.5

Addiere $0$ und $\frac{d}{d y} [8 y]$ .

$x \frac{3 x + 8 y - y \frac{d}{d y} [8 y]}{{(3 x + 8 y)}^{2}}$

Schritt 3.6

Da $8$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $8 y$ nach $y$ gleich $8 \frac{d}{d y} [y]$ .

$x \frac{3 x + 8 y - y (8 \frac{d}{d y} [y])}{{(3 x + 8 y)}^{2}}$

Schritt 3.7

Mutltipliziere $8$ mit $- 1$ .

$x \frac{3 x + 8 y - 8 y \frac{d}{d y} [y]}{{(3 x + 8 y)}^{2}}$

Schritt 3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x \frac{3 x + 8 y - 8 y \cdot 1}{{(3 x + 8 y)}^{2}}$

Schritt 3.9

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.9.1

Mutltipliziere $- 8$ mit $1$ .

$x \frac{3 x + 8 y - 8 y}{{(3 x + 8 y)}^{2}}$

Schritt 3.9.2

Subtrahiere $8 y$ von $8 y$ .

$x \frac{3 x + 0}{{(3 x + 8 y)}^{2}}$

Schritt 3.9.3

Addiere $3 x$ und $0$ .

$x \frac{3 x}{{(3 x + 8 y)}^{2}}$

Schritt 3.9.4

Kombiniere $x$ und $\frac{3 x}{{(3 x + 8 y)}^{2}}$ .

$\frac{x (3 x)}{{(3 x + 8 y)}^{2}}$

Schritt 4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{3 (x^{1} x)}{{(3 x + 8 y)}^{2}}$

Schritt 5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{3 (x^{1} x^{1})}{{(3 x + 8 y)}^{2}}$

Schritt 6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{3 x^{1 + 1}}{{(3 x + 8 y)}^{2}}$

Schritt 7

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{3 x^{2}}{{(3 x + 8 y)}^{2}}$