Analysis Beispiele

$x e^{\frac{x}{y}}$

Schritt 1

Da $x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $x e^{\frac{x}{y}}$ nach $y$ gleich $x \frac{d}{d y} [e^{\frac{x}{y}}]$ .

$x \frac{d}{d y} [e^{\frac{x}{y}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = e^{y}$ und $g (y) = \frac{x}{y}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{x}{y}$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}])$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{x}{y}$ .

$x (e^{\frac{x}{y}} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}])$

Schritt 3

Da $x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x}{y}$ nach $y$ gleich $x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$ .

$x (e^{\frac{x}{y}} (x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]))$

Schritt 4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{1} x (e^{\frac{x}{y}} (\frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]))$

Schritt 5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{1} x^{1} (e^{\frac{x}{y}} (\frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]))$

Schritt 6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{1 + 1} (e^{\frac{x}{y}} (\frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]))$

Schritt 7

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Addiere $1$ und $1$ .

$x^{2} (e^{\frac{x}{y}} (\frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]))$

Schritt 7.2

Schreibe $\frac{1}{y}$ als $y^{- 1}$ um.

$x^{2} (e^{\frac{x}{y}} \frac{d}{d y} [y^{- 1}])$

Schritt 8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$x^{2} (e^{\frac{x}{y}} (- y^{- 2}))$

Schritt 9

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{2} (e^{\frac{x}{y}} (- \frac{1}{y^{2}}))$

Schritt 9.2

Vereine die Terme

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.1

Kombiniere $e^{\frac{x}{y}}$ und $\frac{1}{y^{2}}$ .

$x^{2} (- \frac{e^{\frac{x}{y}}}{y^{2}})$

Schritt 9.2.2

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{e^{\frac{x}{y}}}{y^{2}}$ .

$- \frac{x^{2} e^{\frac{x}{y}}}{y^{2}}$