Analysis Beispiele

$x^{5} + z \sin (x y z)$

Schritt 1

Differenziere.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{5} + z \sin (x y z)$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [x^{5}] + \frac{d}{d y} [z \sin (x y z)]$ .

$\frac{d}{d y} [x^{5}] + \frac{d}{d y} [z \sin (x y z)]$

Schritt 1.2

Da $x^{5}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $x^{5}$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [z \sin (x y z)]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d y} [z \sin (x y z)]$ .

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Schritt 2.1

Da $z$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $z \sin (x y z)$ nach $y$ gleich $z \frac{d}{d y} [\sin (x y z)]$ .

$0 + z \frac{d}{d y} [\sin (x y z)]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = \sin (y)$ und $g (y) = x y z$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x y z$ .

$0 + z (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d y} [x y z])$

Schritt 2.2.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$0 + z (\cos (u) \frac{d}{d y} [x y z])$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x y z$ .

$0 + z (\cos (x y z) \frac{d}{d y} [x y z])$

Schritt 2.3

Da $x z$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $x y z$ nach $y$ gleich $x z \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 + z (\cos (x y z) (x z \frac{d}{d y} [y]))$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 + z (\cos (x y z) (x z \cdot 1))$

Schritt 2.5

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$0 + z (\cos (x y z) (x z))$

Schritt 2.6

Potenziere $z$ mit $1$ .

$0 + z^{1} z (\cos (x y z) (x))$

Schritt 2.7

Potenziere $z$ mit $1$ .

$0 + z^{1} z^{1} (\cos (x y z) (x))$

Schritt 2.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$0 + z^{1 + 1} (\cos (x y z) (x))$

Schritt 2.9

Addiere $1$ und $1$ .

$0 + z^{2} (\cos (x y z) (x))$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Addiere $0$ und $z^{2} (\cos (x y z) (x))$ .

$z^{2} (\cos (x y z) (x))$

Schritt 3.2

Stelle die Faktoren von $z^{2} (\cos (x y z) (x))$ um.

$z^{2} x \cos (x y z)$