Analysis Beispiele

${(3 t + 4)}^{2.4}$

Schritt 1

Sei $u = 3 t + 4$ . Dann ist $d u = 3 d t$ , folglich $\frac{1}{3} d u = d t$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 3 t + 4$ . Ermittle $\frac{d u}{d t}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $3 t + 4$ .

$\frac{d}{d t} [3 t + 4]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 t + 4$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [4]$ .

$\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [4]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d t} [3 t]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $3 t$ nach $t$ gleich $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$3 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [4]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [4]$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3 + \frac{d}{d t} [4]$

Schritt 1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.1.4.1

Da $4$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$3 + 0$

Schritt 1.1.4.2

Addiere $3$ und $0$ .

$3$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int u^{2.4} \frac{1}{3} d u$

Schritt 2

Kombiniere $u^{2.4}$ und $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{u^{2.4}}{3} d u$

Schritt 3

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} \int u^{2.4} d u$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{2.4}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{3.4} u^{3.4}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{3.4} u^{3.4} + C)$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Schreibe $\frac{1}{3} (\frac{1}{3.4} u^{3.4} + C)$ als $\frac{1}{3} (0.29411764 u^{3.4}) + C$ um.

$\frac{1}{3} (0.29411764 u^{3.4}) + C$

Schritt 5.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Kombiniere $0.29411764$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{0.29411764}{3} u^{3.4} + C$

Schritt 5.2.2

Kombiniere $\frac{0.29411764}{3}$ und $u^{3.4}$ .

$\frac{0.29411764 u^{3.4}}{3} + C$

Schritt 6

Ersetze alle $u$ durch $3 t + 4$ .

$\frac{0.29411764 {(3 t + 4)}^{3.4}}{3} + C$

Schritt 7

Stelle die Terme um.

$\frac{0.29411764}{3} {(3 t + 4)}^{3.4} + C$