Analysis Beispiele

$(e^{x} + 1) (e^{- x} + 1)$

Schritt 1

Vereinfache.

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Schritt 1.1

Multipliziere $(e^{x} + 1) (e^{- x} + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int e^{x} (e^{- x} + 1) + 1 (e^{- x} + 1) d x$

Schritt 1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\int e^{x} e^{- x} + e^{x} \cdot 1 + 1 (e^{- x} + 1) d x$

Schritt 1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\int e^{x} e^{- x} + e^{x} \cdot 1 + 1 e^{- x} + 1 \cdot 1 d x$

Schritt 1.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1.1

Multipliziere $e^{x}$ mit $e^{- x}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.2.1.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int e^{x - x} + e^{x} \cdot 1 + 1 e^{- x} + 1 \cdot 1 d x$

Schritt 1.2.1.1.2

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$\int e^{0} + e^{x} \cdot 1 + 1 e^{- x} + 1 \cdot 1 d x$

Schritt 1.2.1.2

Vereinfache $e^{0}$ .

$\int 1 + e^{x} \cdot 1 + 1 e^{- x} + 1 \cdot 1 d x$

Schritt 1.2.1.3

Mutltipliziere $e^{x}$ mit $1$ .

$\int 1 + e^{x} + 1 e^{- x} + 1 \cdot 1 d x$

Schritt 1.2.1.4

Mutltipliziere $e^{- x}$ mit $1$ .

$\int 1 + e^{x} + e^{- x} + 1 \cdot 1 d x$

Schritt 1.2.1.5

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\int 1 + e^{x} + e^{- x} + 1 d x$

Schritt 1.2.2

Addiere $1$ und $1$ .

$\int 2 + e^{x} + e^{- x} d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 2 d x + \int e^{x} d x + \int e^{- x} d x$

Schritt 3

Wende die Konstantenregel an.

$2 x + C + \int e^{x} d x + \int e^{- x} d x$

Schritt 4

Das Integral von $e^{x}$ nach $x$ ist $e^{x}$ .

$2 x + C + e^{x} + C + \int e^{- x} d x$

Schritt 5

Sei $u = - x$ . Dann ist $d u = - d x$ , folglich $- d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 5.1

Es sei $u = - x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 5.1.1

Differenziere $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 5.1.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Schritt 5.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1$

Schritt 5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$2 x + C + e^{x} + C + \int - e^{u} d u$

Schritt 6

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$2 x + C + e^{x} + C - \int e^{u} d u$

Schritt 7

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$2 x + C + e^{x} + C - (e^{u} + C)$

Schritt 8

Vereinfache.

$2 x + e^{x} - e^{u} + C$

Schritt 9

Ersetze alle $u$ durch $- x$ .

$2 x + e^{x} - e^{- x} + C$