Analysis Beispiele

$\frac{e^{\frac{1}{z}}}{z^{2}} \cdot (d z)$

Schritt 1

Vereinfache.

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Schritt 1.1

Kombiniere $d$ und $\frac{e^{\frac{1}{z}}}{z^{2}}$ .

$\int \frac{d e^{\frac{1}{z}}}{z^{2}} \cdot z d z$

Schritt 1.2

Kombiniere $\frac{d e^{\frac{1}{z}}}{z^{2}}$ und $z$ .

$\int \frac{d e^{\frac{1}{z}} z}{z^{2}} d z$

Schritt 1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $z$ und $z^{2}$ .

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Schritt 1.3.1

Faktorisiere $z$ aus $d e^{\frac{1}{z}} z$ heraus.

$\int \frac{z (d e^{\frac{1}{z}})}{z^{2}} d z$

Schritt 1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.3.2.1

Faktorisiere $z$ aus $z^{2}$ heraus.

$\int \frac{z (d e^{\frac{1}{z}})}{z \cdot z} d z$

Schritt 1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{z (d e^{\frac{1}{z}})}{z \cdot z} d z$

Schritt 1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\int \frac{d e^{\frac{1}{z}}}{z} d z$

Schritt 2

Da $d$ konstant bezüglich $z$ ist, ziehe $d$ aus dem Integral.

$d \int \frac{e^{\frac{1}{z}}}{z} d z$

Schritt 3

Sei $u = \frac{1}{z}$ . Dann ist $d u = - \frac{1}{z^{2}} d z$ , folglich $- d u = \frac{1}{z^{2}} d z$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 3.1

Es sei $u = \frac{1}{z}$ . Ermittle $\frac{d u}{d z}$ .

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Schritt 3.1.1

Differenziere $\frac{1}{z}$ .

$\frac{d}{d z} [\frac{1}{z}]$

Schritt 3.1.2

Schreibe $\frac{1}{z}$ als $z^{- 1}$ um.

$\frac{d}{d z} [z^{- 1}]$

Schritt 3.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ gleich $n z^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- z^{- 2}$

Schritt 3.1.4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{z^{2}}$

Schritt 3.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$d \int \frac{- e^{u}}{{(\frac{1}{u})}^{- 1}} d u$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Bringe ${(\frac{1}{u})}^{- 1}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$d \int - e^{u} \frac{1}{u} d u$

Schritt 4.2

Kombiniere $\frac{1}{u}$ und $e^{u}$ .

$d \int - \frac{e^{u}}{u} d u$

Schritt 5

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$d (- \int \frac{e^{u}}{u} d u)$

Schritt 6

$\int \frac{e^{u}}{u} d u$ ist ein spezielles Integral. Das Integral ist die Integralexponentialfunktion.

$d (- (E i (u) + C))$

Schritt 7

Vereinfache.

$d (- E i (u)) + C$