Analysis Beispiele

$z \ln (x^{2} y \cos (z))$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d z} [f (z) g (z)]$ gleich $f (z) \frac{d}{d z} [g (z)] + g (z) \frac{d}{d z} [f (z)]$ ist mit $f (z) = z$ und $g (z) = \ln (x^{2} y \cos (z))$ .

$z \frac{d}{d z} [\ln (x^{2} y \cos (z))] + \ln (x^{2} y \cos (z)) \frac{d}{d z} [z]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d z} [f (g (z))]$ ist $f' (g (z)) g' (z)$ , mit $f (z) = \ln (z)$ und $g (z) = x^{2} y \cos (z)$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} y \cos (z)$ .

$z (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d z} [x^{2} y \cos (z)]) + \ln (x^{2} y \cos (z)) \frac{d}{d z} [z]$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$z (\frac{1}{u} \frac{d}{d z} [x^{2} y \cos (z)]) + \ln (x^{2} y \cos (z)) \frac{d}{d z} [z]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} y \cos (z)$ .

$z (\frac{1}{x^{2} y \cos (z)} \frac{d}{d z} [x^{2} y \cos (z)]) + \ln (x^{2} y \cos (z)) \frac{d}{d z} [z]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 3.1

Kombiniere $\frac{1}{x^{2} y \cos (z)}$ und $z$ .

$\frac{z}{x^{2} y \cos (z)} \frac{d}{d z} [x^{2} y \cos (z)] + \ln (x^{2} y \cos (z)) \frac{d}{d z} [z]$

Schritt 3.2

Da $x^{2} y$ konstant bezüglich $z$ ist, ist die Ableitung von $x^{2} y \cos (z)$ nach $z$ gleich $x^{2} y \frac{d}{d z} [\cos (z)]$ .

$\frac{z}{x^{2} y \cos (z)} (x^{2} y \frac{d}{d z} [\cos (z)]) + \ln (x^{2} y \cos (z)) \frac{d}{d z} [z]$

Schritt 3.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.3.1

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{z}{x^{2} y \cos (z)}$ .

$\frac{x^{2} z}{x^{2} y \cos (z)} (y \frac{d}{d z} [\cos (z)]) + \ln (x^{2} y \cos (z)) \frac{d}{d z} [z]$

Schritt 3.3.2

Kombiniere $y$ und $\frac{x^{2} z}{x^{2} y \cos (z)}$ .

$\frac{y (x^{2} z)}{x^{2} y \cos (z)} \frac{d}{d z} [\cos (z)] + \ln (x^{2} y \cos (z)) \frac{d}{d z} [z]$

Schritt 3.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 3.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y x^{2} z}{x^{2} y \cos (z)} \frac{d}{d z} [\cos (z)] + \ln (x^{2} y \cos (z)) \frac{d}{d z} [z]$

Schritt 3.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{2} z}{x^{2} \cos (z)} \frac{d}{d z} [\cos (z)] + \ln (x^{2} y \cos (z)) \frac{d}{d z} [z]$

Schritt 3.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 3.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} z}{x^{2} \cos (z)} \frac{d}{d z} [\cos (z)] + \ln (x^{2} y \cos (z)) \frac{d}{d z} [z]$

Schritt 3.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{z}{\cos (z)} \frac{d}{d z} [\cos (z)] + \ln (x^{2} y \cos (z)) \frac{d}{d z} [z]$

Schritt 4

Die Ableitung von $\cos (z)$ nach $z$ ist $- \sin (z)$ .

$\frac{z}{\cos (z)} (- \sin (z)) + \ln (x^{2} y \cos (z)) \frac{d}{d z} [z]$

Schritt 5

Kombiniere $\frac{z}{\cos (z)}$ und $\sin (z)$ .

$- \frac{z \sin (z)}{\cos (z)} + \ln (x^{2} y \cos (z)) \frac{d}{d z} [z]$

Schritt 6

Wandle von $\frac{z \sin (z)}{\cos (z)}$ nach $z \tan (z)$ um.

$- (z \tan (z)) + \ln (x^{2} y \cos (z)) \frac{d}{d z} [z]$

Schritt 7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ gleich $n z^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- z \tan (z) + \ln (x^{2} y \cos (z)) \cdot 1$

Schritt 8

Mutltipliziere $\ln (x^{2} y \cos (z))$ mit $1$ .

$- z \tan (z) + \ln (x^{2} y \cos (z))$