Analysis Beispiele

$f (x) = e^{- 3 x} \sin (16 x)$

Schritt 1

Stelle $e^{- 3 x}$ und $\sin (16 x)$ um.

$\int \sin (16 x) e^{- 3 x} d x$

Schritt 2

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \sin (16 x)$ und $d v = e^{- 3 x}$ .

$\sin (16 x) (- \frac{1}{3} e^{- 3 x}) - \int - \frac{1}{3} e^{- 3 x} (16 \cos (16 x)) d x$

Schritt 3

Da $- \frac{1}{3} \cdot 16$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- \frac{1}{3} \cdot 16$ aus dem Integral.

$\sin (16 x) (- \frac{1}{3} e^{- 3 x}) - (- \frac{1}{3} \cdot 16 \int e^{- 3 x} (\cos (16 x)) d x)$

Schritt 4

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.1

Kombiniere $e^{- 3 x}$ und $\frac{1}{3}$ .

$\sin (16 x) (- \frac{e^{- 3 x}}{3}) - (- \frac{1}{3} \cdot 16 \int e^{- 3 x} (\cos (16 x)) d x)$

Schritt 4.2

Kombiniere $\sin (16 x)$ und $\frac{e^{- 3 x}}{3}$ .

$- \frac{\sin (16 x) e^{- 3 x}}{3} - (- \frac{1}{3} \cdot 16 \int e^{- 3 x} (\cos (16 x)) d x)$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $16$ mit $- 1$ .

$- \frac{\sin (16 x) e^{- 3 x}}{3} - (- 16 (\frac{1}{3}) \int e^{- 3 x} (\cos (16 x)) d x)$

Schritt 4.4

Kombiniere $- 16$ und $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{\sin (16 x) e^{- 3 x}}{3} - (\frac{- 16}{3} \int e^{- 3 x} (\cos (16 x)) d x)$

Schritt 4.5

Stelle $e^{- 3 x}$ und $\cos (16 x)$ um.

$- \frac{\sin (16 x) e^{- 3 x}}{3} - (\frac{- 16}{3} \int \cos (16 x) e^{- 3 x} d x)$

Schritt 5

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \cos (16 x)$ und $d v = e^{- 3 x}$ .

$- \frac{\sin (16 x) e^{- 3 x}}{3} - (\frac{- 16}{3} (\cos (16 x) (- \frac{1}{3} e^{- 3 x}) - \int - \frac{1}{3} e^{- 3 x} (- 16 \sin (16 x)) d x))$

Schritt 6

Da $- \frac{1}{3} \cdot - 16$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- \frac{1}{3} \cdot - 16$ aus dem Integral.

$- \frac{\sin (16 x) e^{- 3 x}}{3} - (\frac{- 16}{3} (\cos (16 x) (- \frac{1}{3} e^{- 3 x}) - (- \frac{1}{3} \cdot - 16 \int e^{- 3 x} (\sin (16 x)) d x)))$

Schritt 7

Vereinfache Terme.

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Schritt 7.1

Kombiniere $e^{- 3 x}$ und $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{\sin (16 x) e^{- 3 x}}{3} - (\frac{- 16}{3} (\cos (16 x) (- \frac{e^{- 3 x}}{3}) - (- \frac{1}{3} \cdot - 16 \int e^{- 3 x} (\sin (16 x)) d x)))$

Schritt 7.2

Kombiniere $\cos (16 x)$ und $\frac{e^{- 3 x}}{3}$ .

$- \frac{\sin (16 x) e^{- 3 x}}{3} - (\frac{- 16}{3} (- \frac{\cos (16 x) e^{- 3 x}}{3} - (- \frac{1}{3} \cdot - 16 \int e^{- 3 x} (\sin (16 x)) d x)))$

Schritt 7.3

Mutltipliziere $- 16$ mit $- 1$ .

$- \frac{\sin (16 x) e^{- 3 x}}{3} - (\frac{- 16}{3} (- \frac{\cos (16 x) e^{- 3 x}}{3} - (16 (\frac{1}{3}) \int e^{- 3 x} (\sin (16 x)) d x)))$

Schritt 7.4

Kombiniere $16$ und $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{\sin (16 x) e^{- 3 x}}{3} - (\frac{- 16}{3} (- \frac{\cos (16 x) e^{- 3 x}}{3} - (\frac{16}{3} \int e^{- 3 x} (\sin (16 x)) d x)))$

Schritt 7.5

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{\sin (16 x) e^{- 3 x}}{3} - \frac{- 16}{3} (- \frac{\cos (16 x) e^{- 3 x}}{3}) - \frac{- 16}{3} (- (\frac{16}{3} \int e^{- 3 x} (\sin (16 x)) d x))$

Schritt 7.6

Multipliziere.

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Schritt 7.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- \frac{\sin (16 x) e^{- 3 x}}{3} + 1 (\frac{- 16}{3}) \frac{\cos (16 x) e^{- 3 x}}{3} - \frac{- 16}{3} (- (\frac{16}{3} \int e^{- 3 x} (\sin (16 x)) d x))$

Schritt 7.6.2

Mutltipliziere $\frac{- 16}{3}$ mit $1$ .

$- \frac{\sin (16 x) e^{- 3 x}}{3} + \frac{- 16}{3} \cdot \frac{\cos (16 x) e^{- 3 x}}{3} - \frac{- 16}{3} (- (\frac{16}{3} \int e^{- 3 x} (\sin (16 x)) d x))$

Schritt 7.7

Mutltipliziere $\frac{- 16}{3}$ mit $\frac{\cos (16 x) e^{- 3 x}}{3}$ .

$- \frac{\sin (16 x) e^{- 3 x}}{3} + \frac{- 16 (\cos (16 x) e^{- 3 x})}{3 \cdot 3} - \frac{- 16}{3} (- (\frac{16}{3} \int e^{- 3 x} (\sin (16 x)) d x))$

Schritt 7.8

Multipliziere.

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Schritt 7.8.1

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$- \frac{\sin (16 x) e^{- 3 x}}{3} + \frac{- 16 (\cos (16 x) e^{- 3 x})}{9} - \frac{- 16}{3} (- (\frac{16}{3} \int e^{- 3 x} (\sin (16 x)) d x))$

Schritt 7.8.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- \frac{\sin (16 x) e^{- 3 x}}{3} + \frac{- 16 (\cos (16 x) e^{- 3 x})}{9} + 1 (\frac{- 16}{3}) (\frac{16}{3} \int e^{- 3 x} (\sin (16 x)) d x)$

Schritt 7.8.3

Mutltipliziere $\frac{- 16}{3}$ mit $1$ .

$- \frac{\sin (16 x) e^{- 3 x}}{3} + \frac{- 16 (\cos (16 x) e^{- 3 x})}{9} + \frac{- 16}{3} (\frac{16}{3} \int e^{- 3 x} (\sin (16 x)) d x)$

Schritt 7.9

Mutltipliziere $\frac{16}{3}$ mit $\frac{- 16}{3}$ .

$- \frac{\sin (16 x) e^{- 3 x}}{3} + \frac{- 16 (\cos (16 x) e^{- 3 x})}{9} + \frac{16 \cdot - 16}{3 \cdot 3} \int e^{- 3 x} (\sin (16 x)) d x$

Schritt 7.10

Multipliziere.

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Schritt 7.10.1

Mutltipliziere $16$ mit $- 16$ .

$- \frac{\sin (16 x) e^{- 3 x}}{3} + \frac{- 16 (\cos (16 x) e^{- 3 x})}{9} + \frac{- 256}{3 \cdot 3} \int e^{- 3 x} (\sin (16 x)) d x$

Schritt 7.10.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$- \frac{\sin (16 x) e^{- 3 x}}{3} + \frac{- 16 (\cos (16 x) e^{- 3 x})}{9} + \frac{- 256}{9} \int e^{- 3 x} (\sin (16 x)) d x$

Schritt 8

Wenn nach $\int e^{- 3 x} \sin (16 x) d x$ aufgelöst wird, erhalten wir $\int e^{- 3 x} \sin (16 x) d x$ = $\frac{- \frac{\sin (16 x) e^{- 3 x}}{3} + \frac{- 16 (\cos (16 x) e^{- 3 x})}{9}}{\frac{265}{9}}$ .

$\frac{- \frac{\sin (16 x) e^{- 3 x}}{3} + \frac{- 16 (\cos (16 x) e^{- 3 x})}{9}}{\frac{265}{9}} + C$

Schritt 9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.1

Vereinfache.

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Schritt 9.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{- \frac{\sin (16 x) e^{- 3 x}}{3} - \frac{16 \cos (16 x) e^{- 3 x}}{9}}{\frac{265}{9}} + C$

Schritt 9.1.2

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{265}{9}$ zu dividieren.

$(- \frac{\sin (16 x) e^{- 3 x}}{3} - \frac{16 \cos (16 x) e^{- 3 x}}{9}) \frac{9}{265} + C$

Schritt 9.2

Schreibe $(- \frac{\sin (16 x) e^{- 3 x}}{3} - \frac{16 \cos (16 x) e^{- 3 x}}{9}) \frac{9}{265} + C$ als $(- \frac{1}{3} \sin (16 x) e^{- 3 x} - \frac{16}{9} \cos (16 x) e^{- 3 x}) \frac{9}{265} + C$ um.

$(- \frac{1}{3} \sin (16 x) e^{- 3 x} - \frac{16}{9} \cos (16 x) e^{- 3 x}) \frac{9}{265} + C$

Schritt 9.3

Vereinfache.

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Schritt 9.3.1

Kombiniere $\sin (16 x)$ und $\frac{1}{3}$ .

$(- \frac{\sin (16 x)}{3} e^{- 3 x} - \frac{16}{9} \cos (16 x) e^{- 3 x}) \frac{9}{265} + C$

Schritt 9.3.2

Kombiniere $e^{- 3 x}$ und $\frac{\sin (16 x)}{3}$ .

$(- \frac{e^{- 3 x} \sin (16 x)}{3} - \frac{16}{9} \cos (16 x) e^{- 3 x}) \frac{9}{265} + C$

Schritt 9.3.3

Kombiniere $\cos (16 x)$ und $\frac{16}{9}$ .

$(- \frac{e^{- 3 x} \sin (16 x)}{3} - \frac{\cos (16 x) \cdot 16}{9} e^{- 3 x}) \frac{9}{265} + C$

Schritt 9.3.4

Kombiniere $e^{- 3 x}$ und $\frac{\cos (16 x) \cdot 16}{9}$ .

$(- \frac{e^{- 3 x} \sin (16 x)}{3} - \frac{e^{- 3 x} (\cos (16 x) \cdot 16)}{9}) \frac{9}{265} + C$

Schritt 9.3.5

Bringe $16$ auf die linke Seite von $\cos (16 x)$ .

$(- \frac{e^{- 3 x} \sin (16 x)}{3} - \frac{e^{- 3 x} (16 \cos (16 x))}{9}) \frac{9}{265} + C$

Schritt 9.4

Vereinfache.

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Schritt 9.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.4.1.1

Forme um.

$(- \frac{e^{- 3 x} \sin (16 x)}{3} - \frac{e^{- 3 x} (\cos (16 x) \cdot 16)}{9}) \frac{9}{265} + C$

Schritt 9.4.1.2

Bringe $16$ auf die linke Seite von $\cos (16 x)$ .

$(- \frac{e^{- 3 x} \sin (16 x)}{3} - \frac{e^{- 3 x} (16 \cdot \cos (16 x))}{9}) \frac{9}{265} + C$

Schritt 9.4.1.3

Entferne unnötige Klammern.

$(- \frac{e^{- 3 x} \sin (16 x)}{3} - \frac{e^{- 3 x} \cdot 16 \cos (16 x)}{9}) \frac{9}{265} + C$

Schritt 9.4.2

Bringe $16$ auf die linke Seite von $e^{- 3 x}$ .

$(- \frac{1}{3} e^{- 3 x} \sin (16 x) - \frac{16}{9} e^{- 3 x} \cos (16 x)) \frac{9}{265} + C$