Analysis Beispiele

$\ln (\frac{{(2 y + 1)}^{3}}{\sqrt{y^{2} + 1}})$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{y^{2} + 1}$ als ${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d y} [\ln (\frac{{(2 y + 1)}^{3}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}})]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = \ln (y)$ und $g (y) = \frac{{(2 y + 1)}^{3}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\frac{{(2 y + 1)}^{3}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d y} [\frac{{(2 y + 1)}^{3}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\ln (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d y} [\frac{{(2 y + 1)}^{3}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\frac{{(2 y + 1)}^{3}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{\frac{{(2 y + 1)}^{3}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}} \frac{d}{d y} [\frac{{(2 y + 1)}^{3}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 3

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{{(2 y + 1)}^{3}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ zu dividieren.

$1 \frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \frac{d}{d y} [\frac{{(2 y + 1)}^{3}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 4

Mutltipliziere $\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}}$ mit $1$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \frac{d}{d y} [\frac{{(2 y + 1)}^{3}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 5

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ gleich $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ ist mit $f (y) = {(2 y + 1)}^{3}$ und $g (y) = {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [{(2 y + 1)}^{3}] - {(2 y + 1)}^{3} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 6

Multipliziere die Exponenten in ${({(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 6.2.2

Forme den Ausdruck um.

Schritt 7

Vereinfache.

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [{(2 y + 1)}^{3}] - {(2 y + 1)}^{3} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{y^{2} + 1}$

Schritt 8

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = y^{3}$ und $g (y) = 2 y + 1$ .

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Schritt 8.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $2 y + 1$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d y} [2 y + 1]) - {(2 y + 1)}^{3} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{y^{2} + 1}$

Schritt 8.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d y} [2 y + 1]) - {(2 y + 1)}^{3} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{y^{2} + 1}$

Schritt 8.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $2 y + 1$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 {(2 y + 1)}^{2} \frac{d}{d y} [2 y + 1]) - {(2 y + 1)}^{3} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{y^{2} + 1}$

Schritt 9

Differenziere.

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Schritt 9.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von ${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{3 \cdot {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} \frac{d}{d y} [2 y + 1] - {(2 y + 1)}^{3} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{y^{2} + 1}$

Schritt 9.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 y + 1$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{3 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} (\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1]) - {(2 y + 1)}^{3} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{y^{2} + 1}$

Schritt 9.3

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2 y$ nach $y$ gleich $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{3 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} (2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]) - {(2 y + 1)}^{3} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{y^{2} + 1}$

Schritt 9.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{3 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1]) - {(2 y + 1)}^{3} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{y^{2} + 1}$

Schritt 9.5

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{3 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} (2 + \frac{d}{d y} [1]) - {(2 y + 1)}^{3} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{y^{2} + 1}$

Schritt 9.6

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{3 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} (2 + 0) - {(2 y + 1)}^{3} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{y^{2} + 1}$

Schritt 9.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 9.7.1

Addiere $2$ und $0$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{3 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} \cdot 2 - {(2 y + 1)}^{3} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{y^{2} + 1}$

Schritt 9.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{6 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{y^{2} + 1}$

Schritt 10

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = y^{\frac{1}{2}}$ und $g (y) = y^{2} + 1$ .

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Schritt 10.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{3}$ durch $y^{2} + 1$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{6 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d y} [y^{2} + 1])}{y^{2} + 1}$

Schritt 10.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ gleich $n {u_{3}}^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{6 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} (\frac{1}{2} {u_{3}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [y^{2} + 1])}{y^{2} + 1}$

Schritt 10.3

Ersetze alle $u_{3}$ durch $y^{2} + 1$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{6 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [y^{2} + 1])}{y^{2} + 1}$

Schritt 11

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{6 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d y} [y^{2} + 1])}{y^{2} + 1}$

Schritt 12

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{6 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [y^{2} + 1])}{y^{2} + 1}$

Schritt 13

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{6 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [y^{2} + 1])}{y^{2} + 1}$

Schritt 14

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 14.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{6 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d y} [y^{2} + 1])}{y^{2} + 1}$

Schritt 14.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{6 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d y} [y^{2} + 1])}{y^{2} + 1}$

Schritt 15

Kombiniere Brüche.

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Schritt 15.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{6 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [y^{2} + 1])}{y^{2} + 1}$

Schritt 15.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(y^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{6 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} (\frac{{(y^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2} + 1])}{y^{2} + 1}$

Schritt 15.3

Bringe ${(y^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{6 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} (\frac{1}{2 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [y^{2} + 1])}{y^{2} + 1}$

Schritt 15.4

Kombiniere $\frac{1}{2 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ und ${(2 y + 1)}^{3}$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{6 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} - \frac{{(2 y + 1)}^{3}}{2 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [y^{2} + 1]}{y^{2} + 1}$

Schritt 16

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y^{2} + 1$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{6 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} - \frac{{(2 y + 1)}^{3}}{2 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1])}{y^{2} + 1}$

Schritt 17

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{6 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} - \frac{{(2 y + 1)}^{3}}{2 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 y + \frac{d}{d y} [1])}{y^{2} + 1}$

Schritt 18

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{6 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} - \frac{{(2 y + 1)}^{3}}{2 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 y + 0)}{y^{2} + 1}$

Schritt 19

Vereinfache Terme.

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Schritt 19.1

Addiere $2 y$ und $0$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{6 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} - \frac{{(2 y + 1)}^{3}}{2 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 y)}{y^{2} + 1}$

Schritt 19.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{6 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} - 2 \frac{{(2 y + 1)}^{3}}{2 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y}{y^{2} + 1}$

Schritt 19.3

Kombiniere $- 2$ und $\frac{{(2 y + 1)}^{3}}{2 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{6 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} + \frac{- 2 {(2 y + 1)}^{3}}{2 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y}{y^{2} + 1}$

Schritt 19.4

Kombiniere $\frac{- 2 {(2 y + 1)}^{3}}{2 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ und $y$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{6 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} + \frac{- 2 {(2 y + 1)}^{3} y}{2 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{y^{2} + 1}$

Schritt 19.5

Faktorisiere $2$ aus $- 2 {(2 y + 1)}^{3} y$ heraus.

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{6 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} + \frac{2 (- {(2 y + 1)}^{3} y)}{2 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{y^{2} + 1}$

Schritt 20

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 20.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{6 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} + \frac{2 (- {(2 y + 1)}^{3} y)}{2 ({(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}}{y^{2} + 1}$

Schritt 20.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{6 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} + \frac{2 (- {(2 y + 1)}^{3} y)}{2 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{y^{2} + 1}$

Schritt 20.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{6 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} + \frac{- {(2 y + 1)}^{3} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{y^{2} + 1}$

Schritt 21

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{6 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} - \frac{{(2 y + 1)}^{3} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{y^{2} + 1}$

Schritt 22

Um $6 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{\frac{6 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{{(2 y + 1)}^{3} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{y^{2} + 1}$

Schritt 23

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{\frac{6 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - {(2 y + 1)}^{3} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{y^{2} + 1}$

Schritt 24

Multipliziere ${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ mit ${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 24.1

Bewege ${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{\frac{6 ({(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{y^{2} + 1}$

Schritt 24.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{\frac{6 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{y^{2} + 1}$

Schritt 24.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{\frac{6 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{y^{2} + 1}$

Schritt 24.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{\frac{6 {(y^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}} {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{y^{2} + 1}$

Schritt 24.5

Dividiere $2$ durch $2$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{\frac{6 {(y^{2} + 1)}^{1} {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{y^{2} + 1}$

Schritt 25

Vereinfache $6 {(y^{2} + 1)}^{1} {(2 y + 1)}^{2}$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{\frac{6 (y^{2} + 1) {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{y^{2} + 1}$

Schritt 26

Schreibe $\frac{\frac{6 (y^{2} + 1) {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{y^{2} + 1}$ als ein Produkt um.

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} (\frac{6 (y^{2} + 1) {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{y^{2} + 1})$

Schritt 27

Mutltipliziere $\frac{6 (y^{2} + 1) {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ mit $\frac{1}{y^{2} + 1}$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{6 (y^{2} + 1) {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (y^{2} + 1)}$

Schritt 28

Multipliziere ${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ mit $y^{2} + 1$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 28.1

Mutltipliziere ${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ mit $y^{2} + 1$ .

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Schritt 28.1.1

Potenziere $y^{2} + 1$ mit $1$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{6 (y^{2} + 1) {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(y^{2} + 1)}^{1}}$

Schritt 28.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{6 (y^{2} + 1) {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Schritt 28.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{6 (y^{2} + 1) {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Schritt 28.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{6 (y^{2} + 1) {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Schritt 28.4

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}} \cdot \frac{6 (y^{2} + 1) {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 29

Mutltipliziere $\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{3}}$ mit $\frac{6 (y^{2} + 1) {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (6 (y^{2} + 1) {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} y)}{{(2 y + 1)}^{3} {(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 30

Bringe ${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{6 (y^{2} + 1) {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} y}{{(2 y + 1)}^{3} {(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} {(y^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}$

Schritt 31

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 31.1

Multipliziere ${(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}$ mit ${(y^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 31.1.1

Bewege ${(y^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{6 (y^{2} + 1) {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} y}{{(2 y + 1)}^{3} ({(y^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} {(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}})}$

Schritt 31.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{6 (y^{2} + 1) {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} y}{{(2 y + 1)}^{3} {(y^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2} + \frac{3}{2}}}$

Schritt 31.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{6 (y^{2} + 1) {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} y}{{(2 y + 1)}^{3} {(y^{2} + 1)}^{\frac{- 1 + 3}{2}}}$

Schritt 31.1.4

Addiere $- 1$ und $3$ .

$\frac{6 (y^{2} + 1) {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} y}{{(2 y + 1)}^{3} {(y^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 31.1.5

Dividiere $2$ durch $2$ .

$\frac{6 (y^{2} + 1) {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} y}{{(2 y + 1)}^{3} {(y^{2} + 1)}^{1}}$

Schritt 31.2

Vereinfache ${(2 y + 1)}^{3} {(y^{2} + 1)}^{1}$ .

$\frac{6 (y^{2} + 1) {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} y}{{(2 y + 1)}^{3} (y^{2} + 1)}$

Schritt 32

Vereinfache.

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Schritt 32.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(6 y^{2} + 6 \cdot 1) {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} y}{{(2 y + 1)}^{3} (y^{2} + 1)}$

Schritt 32.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 32.2.1

Faktorisiere ${(2 y + 1)}^{2}$ aus $(6 y^{2} + 6 \cdot 1) {(2 y + 1)}^{2} - {(2 y + 1)}^{3} y$ heraus.

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Schritt 32.2.1.1

Faktorisiere ${(2 y + 1)}^{2}$ aus $(6 y^{2} + 6 \cdot 1) {(2 y + 1)}^{2}$ heraus.

$\frac{{(2 y + 1)}^{2} (6 y^{2} + 6 \cdot 1) - {(2 y + 1)}^{3} y}{{(2 y + 1)}^{3} (y^{2} + 1)}$

Schritt 32.2.1.2

Faktorisiere ${(2 y + 1)}^{2}$ aus $- {(2 y + 1)}^{3} y$ heraus.

$\frac{{(2 y + 1)}^{2} (6 y^{2} + 6 \cdot 1) + {(2 y + 1)}^{2} (- (2 y + 1) y)}{{(2 y + 1)}^{3} (y^{2} + 1)}$

Schritt 32.2.1.3

Faktorisiere ${(2 y + 1)}^{2}$ aus ${(2 y + 1)}^{2} (6 y^{2} + 6 \cdot 1) + {(2 y + 1)}^{2} (- (2 y + 1) y)$ heraus.

$\frac{{(2 y + 1)}^{2} (6 y^{2} + 6 \cdot 1 - (2 y + 1) y)}{{(2 y + 1)}^{3} (y^{2} + 1)}$

Schritt 32.2.2

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$\frac{{(2 y + 1)}^{2} (6 y^{2} + 6 - (2 y + 1) y)}{{(2 y + 1)}^{3} (y^{2} + 1)}$

Schritt 32.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{{(2 y + 1)}^{2} (6 y^{2} + 6 + (- (2 y) - 1 \cdot 1) y)}{{(2 y + 1)}^{3} (y^{2} + 1)}$

Schritt 32.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{{(2 y + 1)}^{2} (6 y^{2} + 6 + (- 2 y - 1 \cdot 1) y)}{{(2 y + 1)}^{3} (y^{2} + 1)}$

Schritt 32.2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{{(2 y + 1)}^{2} (6 y^{2} + 6 + (- 2 y - 1) y)}{{(2 y + 1)}^{3} (y^{2} + 1)}$

Schritt 32.2.6

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{{(2 y + 1)}^{2} (6 y^{2} + 6 - 2 y \cdot y - 1 y)}{{(2 y + 1)}^{3} (y^{2} + 1)}$

Schritt 32.2.7

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 32.2.7.1

Bewege $y$ .

$\frac{{(2 y + 1)}^{2} (6 y^{2} + 6 - 2 (y \cdot y) - 1 y)}{{(2 y + 1)}^{3} (y^{2} + 1)}$

Schritt 32.2.7.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$\frac{{(2 y + 1)}^{2} (6 y^{2} + 6 - 2 y^{2} - 1 y)}{{(2 y + 1)}^{3} (y^{2} + 1)}$

Schritt 32.2.8

Schreibe $- 1 y$ als $- y$ um.

$\frac{{(2 y + 1)}^{2} (6 y^{2} + 6 - 2 y^{2} - y)}{{(2 y + 1)}^{3} (y^{2} + 1)}$

Schritt 32.2.9

Subtrahiere $2 y^{2}$ von $6 y^{2}$ .

$\frac{{(2 y + 1)}^{2} (4 y^{2} + 6 - y)}{{(2 y + 1)}^{3} (y^{2} + 1)}$

Schritt 32.2.10

Stelle die Terme um.

$\frac{{(2 y + 1)}^{2} (4 y^{2} - y + 6)}{{(2 y + 1)}^{3} (y^{2} + 1)}$

Schritt 32.3

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 32.3.1

Faktorisiere ${(2 y + 1)}^{2}$ aus ${(2 y + 1)}^{3} (y^{2} + 1)$ heraus.

$\frac{{(2 y + 1)}^{2} (4 y^{2} - y + 6)}{{(2 y + 1)}^{2} ((2 y + 1) (y^{2} + 1))}$

Schritt 32.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{{(2 y + 1)}^{2} (4 y^{2} - y + 6)}{{(2 y + 1)}^{2} ((2 y + 1) (y^{2} + 1))}$

Schritt 32.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 y^{2} - y + 6}{(2 y + 1) (y^{2} + 1)}$