Analysis Beispiele

$\arctan (\frac{x + y}{1 - x y})$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = \arctan (y)$ und $g (y) = \frac{x + y}{1 - x y}$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{x + y}{1 - x y}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d y} [\frac{x + y}{1 - x y}]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\arctan (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d y} [\frac{x + y}{1 - x y}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{x + y}{1 - x y}$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \frac{d}{d y} [\frac{x + y}{1 - x y}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ gleich $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ ist mit $f (y) = x + y$ und $g (y) = 1 - x y$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{(1 - x y) \frac{d}{d y} [x + y] - (x + y) \frac{d}{d y} [1 - x y]}{{(1 - x y)}^{2}}$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + y$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{(1 - x y) (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]) - (x + y) \frac{d}{d y} [1 - x y]}{{(1 - x y)}^{2}}$

Schritt 3.2

Da $x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $x$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{(1 - x y) (0 + \frac{d}{d y} [y]) - (x + y) \frac{d}{d y} [1 - x y]}{{(1 - x y)}^{2}}$

Schritt 3.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{(1 - x y) \frac{d}{d y} [y] - (x + y) \frac{d}{d y} [1 - x y]}{{(1 - x y)}^{2}}$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{(1 - x y) \cdot 1 - (x + y) \frac{d}{d y} [1 - x y]}{{(1 - x y)}^{2}}$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $1 - x y$ mit $1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{1 - x y - (x + y) \frac{d}{d y} [1 - x y]}{{(1 - x y)}^{2}}$

Schritt 3.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - x y$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- x y]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{1 - x y - (x + y) (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- x y])}{{(1 - x y)}^{2}}$

Schritt 3.7

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{1 - x y - (x + y) (0 + \frac{d}{d y} [- x y])}{{(1 - x y)}^{2}}$

Schritt 3.8

Addiere $0$ und $\frac{d}{d y} [- x y]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{1 - x y - (x + y) \frac{d}{d y} [- x y]}{{(1 - x y)}^{2}}$

Schritt 3.9

Da $- x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- x y$ nach $y$ gleich $- x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{1 - x y - (x + y) (- x \frac{d}{d y} [y])}{{(1 - x y)}^{2}}$

Schritt 3.10

Multipliziere.

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Schritt 3.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{1 - x y + 1 (x + y) (x \frac{d}{d y} [y])}{{(1 - x y)}^{2}}$

Schritt 3.10.2

Mutltipliziere $x + y$ mit $1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{1 - x y + (x + y) (x \frac{d}{d y} [y])}{{(1 - x y)}^{2}}$

Schritt 3.11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{1 - x y + (x + y) x \cdot 1}{{(1 - x y)}^{2}}$

Schritt 3.12

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.12.1

Mutltipliziere $x + y$ mit $1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{1 - x y + x \cdot (x + y)}{{(1 - x y)}^{2}}$

Schritt 3.12.2

Mutltipliziere $\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}}$ mit $\frac{1 - x y + x (x + y)}{{(1 - x y)}^{2}}$ .

$\frac{1 - x y + x (x + y)}{(1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}) {(1 - x y)}^{2}}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende die Produktregel auf $\frac{x + y}{1 - x y}$ an.

$\frac{1 - x y + x (x + y)}{(1 + \frac{{(x + y)}^{2}}{{(1 - x y)}^{2}}) {(1 - x y)}^{2}}$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 - x y + x \cdot x + x y}{(1 + \frac{{(x + y)}^{2}}{{(1 - x y)}^{2}}) {(1 - x y)}^{2}}$

Schritt 4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $1 - x y + x \cdot x + x y$ .

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Schritt 4.3.1.1

Addiere $- x y$ und $x y$ .

$\frac{1 + x \cdot x + 0}{(1 + \frac{{(x + y)}^{2}}{{(1 - x y)}^{2}}) {(1 - x y)}^{2}}$

Schritt 4.3.1.2

Addiere $1 + x \cdot x$ und $0$ .

$\frac{1 + x \cdot x}{(1 + \frac{{(x + y)}^{2}}{{(1 - x y)}^{2}}) {(1 - x y)}^{2}}$

Schritt 4.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{1 + x^{2}}{(1 + \frac{{(x + y)}^{2}}{{(1 - x y)}^{2}}) {(1 - x y)}^{2}}$

Schritt 4.4

Vereine die Terme

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Schritt 4.4.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1 + x^{2}}{(\frac{{(1 - x y)}^{2}}{{(1 - x y)}^{2}} + \frac{{(x + y)}^{2}}{{(1 - x y)}^{2}}) {(1 - x y)}^{2}}$

Schritt 4.4.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1 + x^{2}}{\frac{{(1 - x y)}^{2} + {(x + y)}^{2}}{{(1 - x y)}^{2}} {(1 - x y)}^{2}}$

Schritt 4.4.3

Kombiniere $\frac{{(1 - x y)}^{2} + {(x + y)}^{2}}{{(1 - x y)}^{2}}$ und ${(1 - x y)}^{2}$ .

$\frac{1 + x^{2}}{\frac{({(1 - x y)}^{2} + {(x + y)}^{2}) {(1 - x y)}^{2}}{{(1 - x y)}^{2}}}$

Schritt 4.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(1 - x y)}^{2}$ .

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Schritt 4.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 + x^{2}}{\frac{({(1 - x y)}^{2} + {(x + y)}^{2}) {(1 - x y)}^{2}}{{(1 - x y)}^{2}}}$

Schritt 4.4.4.2

Dividiere ${(1 - x y)}^{2} + {(x + y)}^{2}$ durch $1$ .

$\frac{1 + x^{2}}{{(1 - x y)}^{2} + {(x + y)}^{2}}$

Schritt 4.5

Stelle die Terme um.

$\frac{x^{2} + 1}{{(1 - x y)}^{2} + {(x + y)}^{2}}$

Schritt 4.6

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.6.1

Schreibe ${(1 - x y)}^{2}$ als $(1 - x y) (1 - x y)$ um.

$\frac{x^{2} + 1}{(1 - x y) (1 - x y) + {(x + y)}^{2}}$

Schritt 4.6.2

Multipliziere $(1 - x y) (1 - x y)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.6.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} + 1}{1 (1 - x y) - x y (1 - x y) + {(x + y)}^{2}}$

Schritt 4.6.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} + 1}{1 \cdot 1 + 1 (- x y) - x y (1 - x y) + {(x + y)}^{2}}$

Schritt 4.6.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} + 1}{1 \cdot 1 + 1 (- x y) - x y \cdot 1 - x y (- x y) + {(x + y)}^{2}}$

Schritt 4.6.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.6.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.6.3.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\frac{x^{2} + 1}{1 + 1 (- x y) - x y \cdot 1 - x y (- x y) + {(x + y)}^{2}}$

Schritt 4.6.3.1.2

Mutltipliziere $- x y$ mit $1$ .

$\frac{x^{2} + 1}{1 - x y - x y \cdot 1 - x y (- x y) + {(x + y)}^{2}}$

Schritt 4.6.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{x^{2} + 1}{1 - x y - x y - x y (- x y) + {(x + y)}^{2}}$

Schritt 4.6.3.1.4

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.6.3.1.4.1

Bewege $x$ .

$\frac{x^{2} + 1}{1 - x y - x y - (x \cdot x) y (- 1 y) + {(x + y)}^{2}}$

Schritt 4.6.3.1.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{x^{2} + 1}{1 - x y - x y - x^{2} y (- 1 y) + {(x + y)}^{2}}$

Schritt 4.6.3.1.5

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.6.3.1.5.1

Bewege $y$ .

$\frac{x^{2} + 1}{1 - x y - x y - x^{2} (y \cdot y) \cdot - 1 + {(x + y)}^{2}}$

Schritt 4.6.3.1.5.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$\frac{x^{2} + 1}{1 - x y - x y - x^{2} y^{2} \cdot - 1 + {(x + y)}^{2}}$

Schritt 4.6.3.1.6

Multipliziere $- x^{2} y^{2} \cdot - 1$ .

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Schritt 4.6.3.1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 1}{1 - x y - x y + 1 x^{2} y^{2} + {(x + y)}^{2}}$

Schritt 4.6.3.1.6.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$\frac{x^{2} + 1}{1 - x y - x y + x^{2} y^{2} + {(x + y)}^{2}}$

Schritt 4.6.3.2

Subtrahiere $x y$ von $- x y$ .

$\frac{x^{2} + 1}{1 - 2 x y + x^{2} y^{2} + {(x + y)}^{2}}$

Schritt 4.6.4

Schreibe ${(x + y)}^{2}$ als $(x + y) (x + y)$ um.

$\frac{x^{2} + 1}{1 - 2 x y + x^{2} y^{2} + (x + y) (x + y)}$

Schritt 4.6.5

Multipliziere $(x + y) (x + y)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.6.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} + 1}{1 - 2 x y + x^{2} y^{2} + x (x + y) + y (x + y)}$

Schritt 4.6.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} + 1}{1 - 2 x y + x^{2} y^{2} + x \cdot x + x y + y (x + y)}$

Schritt 4.6.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} + 1}{1 - 2 x y + x^{2} y^{2} + x \cdot x + x y + y x + y \cdot y}$

Schritt 4.6.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.6.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.6.6.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{x^{2} + 1}{1 - 2 x y + x^{2} y^{2} + x^{2} + x y + y x + y \cdot y}$

Schritt 4.6.6.1.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$\frac{x^{2} + 1}{1 - 2 x y + x^{2} y^{2} + x^{2} + x y + y x + y^{2}}$

Schritt 4.6.6.2

Addiere $x y$ und $y x$ .

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Schritt 4.6.6.2.1

Stelle $y$ und $x$ um.

$\frac{x^{2} + 1}{1 - 2 x y + x^{2} y^{2} + x^{2} + x y + x y + y^{2}}$

Schritt 4.6.6.2.2

Addiere $x y$ und $x y$ .

$\frac{x^{2} + 1}{1 - 2 x y + x^{2} y^{2} + x^{2} + 2 x y + y^{2}}$

Schritt 4.6.7

Addiere $- 2 x y$ und $2 x y$ .

$\frac{x^{2} + 1}{1 + x^{2} y^{2} + x^{2} + 0 + y^{2}}$

Schritt 4.6.8

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{x^{2} + 1}{x^{2} y^{2} + x^{2} + 1 + y^{2}}$

Schritt 4.6.9

Schreibe $x^{2} y^{2} + x^{2} + 1 + y^{2}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 4.6.9.1

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 4.6.9.1.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{x^{2} + 1}{(x^{2} y^{2} + x^{2}) + 1 + y^{2}}$

Schritt 4.6.9.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{x^{2} + 1}{x^{2} (y^{2} + 1) + 1 (y^{2} + 1)}$

Schritt 4.6.9.2

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $y^{2} + 1$ .

$\frac{x^{2} + 1}{(y^{2} + 1) (x^{2} + 1)}$

Schritt 4.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} + 1$ .

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Schritt 4.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} + 1}{(y^{2} + 1) (x^{2} + 1)}$

Schritt 4.7.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y^{2} + 1}$