Analysis Beispiele

$y = \frac{\csc (x)}{1 + \csc (x)}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{\csc (x)}{1 + \csc (x)})$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = \csc (x)$ und $g (x) = 1 + \csc (x)$ .

$\frac{(1 + \csc (x)) \frac{d}{d x} [\csc (x)] - \csc (x) \frac{d}{d x} [1 + \csc (x)]}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Schritt 3.2

Die Ableitung von $\csc (x)$ nach $x$ ist $- \csc (x) \cot (x)$ .

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) - \csc (x) \frac{d}{d x} [1 + \csc (x)]}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Schritt 3.3

Differenziere.

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Schritt 3.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + \csc (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\csc (x)]$ .

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) - \csc (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\csc (x)])}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Schritt 3.3.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) - \csc (x) (0 + \frac{d}{d x} [\csc (x)])}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Schritt 3.3.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [\csc (x)]$ .

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) - \csc (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)]}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Schritt 3.4

Die Ableitung von $\csc (x)$ nach $x$ ist $- \csc (x) \cot (x)$ .

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) - \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Schritt 3.5

Multipliziere.

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Schritt 3.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) + 1 \csc (x) (\csc (x) \cot (x))}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Schritt 3.5.2

Mutltipliziere $\csc (x)$ mit $1$ .

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (\csc (x) \cot (x))}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Schritt 3.6

Potenziere $\csc (x)$ mit $1$ .

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc^{1} (x) \csc (x) \cot (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Schritt 3.7

Potenziere $\csc (x)$ mit $1$ .

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc^{1} (x) \csc^{1} (x) \cot (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Schritt 3.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) + {\csc (x)}^{1 + 1} \cot (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Schritt 3.9

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc^{2} (x) \cot (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Schritt 3.10

Vereinfache.

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Schritt 3.10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc^{2} (x) \cot (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Schritt 3.10.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.10.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.10.2.1.1

Mutltipliziere $- \csc (x) \cot (x)$ mit $1$ .

$\frac{- \csc (x) \cot (x) + \csc (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc^{2} (x) \cot (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Schritt 3.10.2.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{- \csc (x) \cot (x) - \csc (x) \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \cot (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Schritt 3.10.2.1.3

Multipliziere $- \csc (x) \csc (x)$ .

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Schritt 3.10.2.1.3.1

Potenziere $\csc (x)$ mit $1$ .

$\frac{- \csc (x) \cot (x) - (\csc^{1} (x) \csc (x)) \cot (x) + \csc^{2} (x) \cot (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Schritt 3.10.2.1.3.2

Potenziere $\csc (x)$ mit $1$ .

$\frac{- \csc (x) \cot (x) - (\csc^{1} (x) \csc^{1} (x)) \cot (x) + \csc^{2} (x) \cot (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Schritt 3.10.2.1.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- \csc (x) \cot (x) - {\csc (x)}^{1 + 1} \cot (x) + \csc^{2} (x) \cot (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Schritt 3.10.2.1.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{- \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \cot (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Schritt 3.10.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \cot (x)$ .

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Schritt 3.10.2.2.1

Addiere $- \csc^{2} (x) \cot (x)$ und $\csc^{2} (x) \cot (x)$ .

$\frac{- \csc (x) \cot (x) + 0}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Schritt 3.10.2.2.2

Addiere $- \csc (x) \cot (x)$ und $0$ .

$\frac{- \csc (x) \cot (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Schritt 3.10.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{\csc (x) \cot (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = - \frac{\csc (x) \cot (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{\csc (x) \cot (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$