Analysis Beispiele

$\ln (5 x^{2} + 10 y^{3}) \cdot (6 x^{- \frac{3}{2}})$

Schritt 1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{d}{d y} [\ln (5 x^{2} + 10 y^{3}) \cdot (6 \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}})]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 2.1

Kombiniere $6$ und $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{d}{d y} [\ln (5 x^{2} + 10 y^{3}) \cdot \frac{6}{x^{\frac{3}{2}}}]$

Schritt 2.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.2.1

Kombiniere $\ln (5 x^{2} + 10 y^{3})$ und $\frac{6}{x^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{\ln (5 x^{2} + 10 y^{3}) \cdot 6}{x^{\frac{3}{2}}}]$

Schritt 2.2.2

Bringe $6$ auf die linke Seite von $\ln (5 x^{2} + 10 y^{3})$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{6 \cdot \ln (5 x^{2} + 10 y^{3})}{x^{\frac{3}{2}}}]$

Schritt 2.3

Da $\frac{6}{x^{\frac{3}{2}}}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $\frac{6 \ln (5 x^{2} + 10 y^{3})}{x^{\frac{3}{2}}}$ nach $y$ gleich $\frac{6}{x^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d y} [\ln (5 x^{2} + 10 y^{3})]$ .

$\frac{6}{x^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d y} [\ln (5 x^{2} + 10 y^{3})]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = \ln (y)$ und $g (y) = 5 x^{2} + 10 y^{3}$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $5 x^{2} + 10 y^{3}$ .

$\frac{6}{x^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d y} [5 x^{2} + 10 y^{3}])$

Schritt 3.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{6}{x^{\frac{3}{2}}} (\frac{1}{u} \frac{d}{d y} [5 x^{2} + 10 y^{3}])$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u$ durch $5 x^{2} + 10 y^{3}$ .

$\frac{6}{x^{\frac{3}{2}}} (\frac{1}{5 x^{2} + 10 y^{3}} \frac{d}{d y} [5 x^{2} + 10 y^{3}])$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{5 x^{2} + 10 y^{3}}$ mit $\frac{6}{x^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{6}{(5 x^{2} + 10 y^{3}) x^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d y} [5 x^{2} + 10 y^{3}]$

Schritt 4.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 x^{2} + 10 y^{3}$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [5 x^{2}] + \frac{d}{d y} [10 y^{3}]$ .

$\frac{6}{(5 x^{2} + 10 y^{3}) x^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d y} [5 x^{2}] + \frac{d}{d y} [10 y^{3}])$

Schritt 4.3

Da $5 x^{2}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $5 x^{2}$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{6}{(5 x^{2} + 10 y^{3}) x^{\frac{3}{2}}} (0 + \frac{d}{d y} [10 y^{3}])$

Schritt 4.4

Addiere $0$ und $\frac{d}{d y} [10 y^{3}]$ .

$\frac{6}{(5 x^{2} + 10 y^{3}) x^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d y} [10 y^{3}]$

Schritt 4.5

Da $10$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $10 y^{3}$ nach $y$ gleich $10 \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$\frac{6}{(5 x^{2} + 10 y^{3}) x^{\frac{3}{2}}} (10 \frac{d}{d y} [y^{3}])$

Schritt 4.6

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.6.1

Kombiniere $10$ und $\frac{6}{(5 x^{2} + 10 y^{3}) x^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{10 \cdot 6}{(5 x^{2} + 10 y^{3}) x^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Schritt 4.6.2

Mutltipliziere $10$ mit $6$ .

$\frac{60}{(5 x^{2} + 10 y^{3}) x^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Schritt 4.6.3

Faktorisiere $5$ aus $60$ heraus.

$\frac{5 \cdot 12}{(5 x^{2} + 10 y^{3}) x^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Schritt 5

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $5$ aus $(5 x^{2} + 10 y^{3}) x^{\frac{3}{2}}$ heraus.

$\frac{5 \cdot 12}{5 ((x^{2} + 2 y^{3}) x^{\frac{3}{2}})} \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 \cdot 12}{5 ((x^{2} + 2 y^{3}) x^{\frac{3}{2}})} \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Schritt 5.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{12}{(x^{2} + 2 y^{3}) x^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Schritt 6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{12}{(x^{2} + 2 y^{3}) x^{\frac{3}{2}}} (3 y^{2})$

Schritt 7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 7.1

Kombiniere $3$ und $\frac{12}{(x^{2} + 2 y^{3}) x^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{3 \cdot 12}{(x^{2} + 2 y^{3}) x^{\frac{3}{2}}} y^{2}$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $3$ mit $12$ .

$\frac{36}{(x^{2} + 2 y^{3}) x^{\frac{3}{2}}} y^{2}$

Schritt 7.3

Kombiniere $\frac{36}{(x^{2} + 2 y^{3}) x^{\frac{3}{2}}}$ und $y^{2}$ .

$\frac{36 y^{2}}{(x^{2} + 2 y^{3}) x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{36 y^{2}}{x^{2} x^{\frac{3}{2}} + 2 y^{3} x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 8.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{\frac{3}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 8.2.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{36 y^{2}}{x^{2 + \frac{3}{2}} + 2 y^{3} x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 8.2.2

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{36 y^{2}}{x^{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}} + 2 y^{3} x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 8.2.3

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{36 y^{2}}{x^{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}} + 2 y^{3} x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 8.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{36 y^{2}}{x^{\frac{2 \cdot 2 + 3}{2}} + 2 y^{3} x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 8.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.2.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{36 y^{2}}{x^{\frac{4 + 3}{2}} + 2 y^{3} x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 8.2.5.2

Addiere $4$ und $3$ .

$\frac{36 y^{2}}{x^{\frac{7}{2}} + 2 y^{3} x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 8.3

Stelle die Terme um.

$\frac{36 y^{2}}{2 x^{\frac{3}{2}} y^{3} + x^{\frac{7}{2}}}$

Schritt 8.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.4.1

Faktorisiere $x^{\frac{3}{2}}$ aus $2 x^{\frac{3}{2}} y^{3} + x^{\frac{7}{2}}$ heraus.

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Schritt 8.4.1.1

Faktorisiere $x^{\frac{3}{2}}$ aus $2 x^{\frac{3}{2}} y^{3}$ heraus.

$\frac{36 y^{2}}{x^{\frac{3}{2}} (2 y^{3}) + x^{\frac{7}{2}}}$

Schritt 8.4.1.2

Faktorisiere $x^{\frac{3}{2}}$ aus $x^{\frac{7}{2}}$ heraus.

$\frac{36 y^{2}}{x^{\frac{3}{2}} (2 y^{3}) + x^{\frac{3}{2}} x^{\frac{4}{2}}}$

Schritt 8.4.1.3

Faktorisiere $x^{\frac{3}{2}}$ aus $x^{\frac{3}{2}} (2 y^{3}) + x^{\frac{3}{2}} x^{\frac{4}{2}}$ heraus.

$\frac{36 y^{2}}{x^{\frac{3}{2}} (2 y^{3} + x^{\frac{4}{2}})}$

Schritt 8.4.2

Dividiere $4$ durch $2$ .

$\frac{36 y^{2}}{x^{\frac{3}{2}} (2 y^{3} + x^{2})}$