Analysis Beispiele

$\ln^{7} (z) + \ln (z^{7})$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\ln^{7} (z) + \ln (z^{7})$ nach $z$ $\frac{d}{d z} [\ln^{7} (z)] + \frac{d}{d z} [\ln (z^{7})]$ .

$\frac{d}{d z} [\ln^{7} (z)] + \frac{d}{d z} [\ln (z^{7})]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d z} [\ln^{7} (z)]$ .

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d z} [f (g (z))]$ ist $f' (g (z)) g' (z)$ , mit $f (z) = z^{7}$ und $g (z) = \ln (z)$ .

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Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\ln (z)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{7}] \frac{d}{d z} [\ln (z)] + \frac{d}{d z} [\ln (z^{7})]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 7$ .

$7 {u_{1}}^{6} \frac{d}{d z} [\ln (z)] + \frac{d}{d z} [\ln (z^{7})]$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\ln (z)$ .

$7 \ln^{6} (z) \frac{d}{d z} [\ln (z)] + \frac{d}{d z} [\ln (z^{7})]$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\ln (z)$ nach $z$ ist $\frac{1}{z}$ .

$7 \ln^{6} (z) \frac{1}{z} + \frac{d}{d z} [\ln (z^{7})]$

Schritt 2.3

Kombiniere $\frac{1}{z}$ und $7$ .

$\frac{7}{z} \ln^{6} (z) + \frac{d}{d z} [\ln (z^{7})]$

Schritt 2.4

Kombiniere $\frac{7}{z}$ und $\ln^{6} (z)$ .

$\frac{7 \ln^{6} (z)}{z} + \frac{d}{d z} [\ln (z^{7})]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d z} [\ln (z^{7})]$ .

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d z} [f (g (z))]$ ist $f' (g (z)) g' (z)$ , mit $f (z) = \ln (z)$ und $g (z) = z^{7}$ .

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Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $z^{7}$ .

$\frac{7 \ln^{6} (z)}{z} + \frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d z} [z^{7}]$

Schritt 3.1.2

Die Ableitung von $\ln (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{7 \ln^{6} (z)}{z} + \frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d z} [z^{7}]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $z^{7}$ .

$\frac{7 \ln^{6} (z)}{z} + \frac{1}{z^{7}} \frac{d}{d z} [z^{7}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ gleich $n z^{n - 1}$ ist mit $n = 7$ .

$\frac{7 \ln^{6} (z)}{z} + \frac{1}{z^{7}} (7 z^{6})$

Schritt 3.3

Kombiniere $7$ und $\frac{1}{z^{7}}$ .

$\frac{7 \ln^{6} (z)}{z} + \frac{7}{z^{7}} z^{6}$

Schritt 3.4

Kombiniere $\frac{7}{z^{7}}$ und $z^{6}$ .

$\frac{7 \ln^{6} (z)}{z} + \frac{7 z^{6}}{z^{7}}$

Schritt 3.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $z^{6}$ und $z^{7}$ .

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Schritt 3.5.1

Faktorisiere $z^{6}$ aus $7 z^{6}$ heraus.

$\frac{7 \ln^{6} (z)}{z} + \frac{z^{6} \cdot 7}{z^{7}}$

Schritt 3.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.5.2.1

Faktorisiere $z^{6}$ aus $z^{7}$ heraus.

$\frac{7 \ln^{6} (z)}{z} + \frac{z^{6} \cdot 7}{z^{6} z}$

Schritt 3.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{7 \ln^{6} (z)}{z} + \frac{z^{6} \cdot 7}{z^{6} z}$

Schritt 3.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{7 \ln^{6} (z)}{z} + \frac{7}{z}$