Analysis Beispiele

$\ln (\frac{x^{40} y^{30}}{z^{20}})$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d z} [f (g (z))]$ ist $f' (g (z)) g' (z)$ , mit $f (z) = \ln (z)$ und $g (z) = \frac{x^{40} y^{30}}{z^{20}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{x^{40} y^{30}}{z^{20}}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d z} [\frac{x^{40} y^{30}}{z^{20}}]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d z} [\frac{x^{40} y^{30}}{z^{20}}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{x^{40} y^{30}}{z^{20}}$ .

$\frac{1}{\frac{x^{40} y^{30}}{z^{20}}} \frac{d}{d z} [\frac{x^{40} y^{30}}{z^{20}}]$

Schritt 2

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{x^{40} y^{30}}{z^{20}}$ zu dividieren.

$1 \frac{z^{20}}{x^{40} y^{30}} \frac{d}{d z} [\frac{x^{40} y^{30}}{z^{20}}]$

Schritt 3

Mutltipliziere $\frac{z^{20}}{x^{40} y^{30}}$ mit $1$ .

$\frac{z^{20}}{x^{40} y^{30}} \frac{d}{d z} [\frac{x^{40} y^{30}}{z^{20}}]$

Schritt 4

Da $x^{40} y^{30}$ konstant bezüglich $z$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x^{40} y^{30}}{z^{20}}$ nach $z$ gleich $x^{40} y^{30} \frac{d}{d z} [\frac{1}{z^{20}}]$ .

$\frac{z^{20}}{x^{40} y^{30}} (x^{40} y^{30} \frac{d}{d z} [\frac{1}{z^{20}}])$

Schritt 5

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Kombiniere $x^{40}$ und $\frac{z^{20}}{x^{40} y^{30}}$ .

$\frac{x^{40} z^{20}}{x^{40} y^{30}} (y^{30} \frac{d}{d z} [\frac{1}{z^{20}}])$

Schritt 5.2

Kombiniere $y^{30}$ und $\frac{x^{40} z^{20}}{x^{40} y^{30}}$ .

$\frac{y^{30} (x^{40} z^{20})}{x^{40} y^{30}} \frac{d}{d z} [\frac{1}{z^{20}}]$

Schritt 5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{30}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y^{30} x^{40} z^{20}}{x^{40} y^{30}} \frac{d}{d z} [\frac{1}{z^{20}}]$

Schritt 5.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{40} z^{20}}{x^{40}} \frac{d}{d z} [\frac{1}{z^{20}}]$

Schritt 5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{40}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{40} z^{20}}{x^{40}} \frac{d}{d z} [\frac{1}{z^{20}}]$

Schritt 5.4.2

Dividiere $z^{20}$ durch $1$ .

$z^{20} \frac{d}{d z} [\frac{1}{z^{20}}]$

Schritt 5.5

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.1

Schreibe $\frac{1}{z^{20}}$ als ${(z^{20})}^{- 1}$ um.

$z^{20} \frac{d}{d z} [{(z^{20})}^{- 1}]$

Schritt 5.5.2

Multipliziere die Exponenten in ${(z^{20})}^{- 1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$z^{20} \frac{d}{d z} [z^{20 \cdot - 1}]$

Schritt 5.5.2.2

Mutltipliziere $20$ mit $- 1$ .

$z^{20} \frac{d}{d z} [z^{- 20}]$

Schritt 6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ gleich $n z^{n - 1}$ ist mit $n = - 20$ .

$z^{20} (- 20 z^{- 21})$

Schritt 7

Multipliziere $z^{20}$ mit $z^{- 21}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Bewege $z^{- 21}$ .

$z^{- 21} z^{20} \cdot - 20$

Schritt 7.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$z^{- 21 + 20} \cdot - 20$

Schritt 7.3

Addiere $- 21$ und $20$ .

$z^{- 1} \cdot - 20$

Schritt 8

Bringe $- 20$ auf die linke Seite von $z^{- 1}$ .

$- 20 \cdot z^{- 1}$

Schritt 9

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 20 \frac{1}{z}$

Schritt 9.2

Vereine die Terme

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.1

Kombiniere $- 20$ und $\frac{1}{z}$ .

$\frac{- 20}{z}$

Schritt 9.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{20}{z}$