Analysis Beispiele

$f (z) = - \frac{1}{4} z^{8} + \frac{1}{2} z^{4} - 2^{3}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Summenregel.

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Schritt 1.1

Potenziere $2$ mit $3$ .

$\frac{d}{d z} [- \frac{1}{4} z^{8} + \frac{1}{2} z^{4} - 1 \cdot 8]$

Schritt 1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- \frac{1}{4} z^{8} + \frac{1}{2} z^{4} - 1 \cdot 8$ nach $z$ $\frac{d}{d z} [- \frac{1}{4} z^{8}] + \frac{d}{d z} [\frac{1}{2} z^{4}] + \frac{d}{d z} [- 1 \cdot 8]$ .

$\frac{d}{d z} [- \frac{1}{4} z^{8}] + \frac{d}{d z} [\frac{1}{2} z^{4}] + \frac{d}{d z} [- 1 \cdot 8]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d z} [- \frac{1}{4} z^{8}]$ .

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Schritt 2.1

Da $- \frac{1}{4}$ konstant bezüglich $z$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{1}{4} z^{8}$ nach $z$ gleich $- \frac{1}{4} \frac{d}{d z} [z^{8}]$ .

$- \frac{1}{4} \frac{d}{d z} [z^{8}] + \frac{d}{d z} [\frac{1}{2} z^{4}] + \frac{d}{d z} [- 1 \cdot 8]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ gleich $n z^{n - 1}$ ist mit $n = 8$ .

$- \frac{1}{4} (8 z^{7}) + \frac{d}{d z} [\frac{1}{2} z^{4}] + \frac{d}{d z} [- 1 \cdot 8]$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $8$ mit $- 1$ .

$- 8 (\frac{1}{4}) z^{7} + \frac{d}{d z} [\frac{1}{2} z^{4}] + \frac{d}{d z} [- 1 \cdot 8]$

Schritt 2.4

Kombiniere $- 8$ und $\frac{1}{4}$ .

$\frac{- 8}{4} z^{7} + \frac{d}{d z} [\frac{1}{2} z^{4}] + \frac{d}{d z} [- 1 \cdot 8]$

Schritt 2.5

Kombiniere $\frac{- 8}{4}$ und $z^{7}$ .

$\frac{- 8 z^{7}}{4} + \frac{d}{d z} [\frac{1}{2} z^{4}] + \frac{d}{d z} [- 1 \cdot 8]$

Schritt 2.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 8$ und $4$ .

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Schritt 2.6.1

Faktorisiere $4$ aus $- 8 z^{7}$ heraus.

$\frac{4 (- 2 z^{7})}{4} + \frac{d}{d z} [\frac{1}{2} z^{4}] + \frac{d}{d z} [- 1 \cdot 8]$

Schritt 2.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.6.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$\frac{4 (- 2 z^{7})}{4 (1)} + \frac{d}{d z} [\frac{1}{2} z^{4}] + \frac{d}{d z} [- 1 \cdot 8]$

Schritt 2.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 (- 2 z^{7})}{4 \cdot 1} + \frac{d}{d z} [\frac{1}{2} z^{4}] + \frac{d}{d z} [- 1 \cdot 8]$

Schritt 2.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 2 z^{7}}{1} + \frac{d}{d z} [\frac{1}{2} z^{4}] + \frac{d}{d z} [- 1 \cdot 8]$

Schritt 2.6.2.4

Dividiere $- 2 z^{7}$ durch $1$ .

$- 2 z^{7} + \frac{d}{d z} [\frac{1}{2} z^{4}] + \frac{d}{d z} [- 1 \cdot 8]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d z} [\frac{1}{2} z^{4}]$ .

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Schritt 3.1

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $z$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{2} z^{4}$ nach $z$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d z} [z^{4}]$ .

$- 2 z^{7} + \frac{1}{2} \frac{d}{d z} [z^{4}] + \frac{d}{d z} [- 1 \cdot 8]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ gleich $n z^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$- 2 z^{7} + \frac{1}{2} (4 z^{3}) + \frac{d}{d z} [- 1 \cdot 8]$

Schritt 3.3

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{2}$ .

$- 2 z^{7} + \frac{4}{2} z^{3} + \frac{d}{d z} [- 1 \cdot 8]$

Schritt 3.4

Kombiniere $\frac{4}{2}$ und $z^{3}$ .

$- 2 z^{7} + \frac{4 z^{3}}{2} + \frac{d}{d z} [- 1 \cdot 8]$

Schritt 3.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 3.5.1

Faktorisiere $2$ aus $4 z^{3}$ heraus.

$- 2 z^{7} + \frac{2 (2 z^{3})}{2} + \frac{d}{d z} [- 1 \cdot 8]$

Schritt 3.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$- 2 z^{7} + \frac{2 (2 z^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d z} [- 1 \cdot 8]$

Schritt 3.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 2 z^{7} + \frac{2 (2 z^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d z} [- 1 \cdot 8]$

Schritt 3.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- 2 z^{7} + \frac{2 z^{3}}{1} + \frac{d}{d z} [- 1 \cdot 8]$

Schritt 3.5.2.4

Dividiere $2 z^{3}$ durch $1$ .

$- 2 z^{7} + 2 z^{3} + \frac{d}{d z} [- 1 \cdot 8]$

Schritt 4

Berechne $\frac{d}{d z} [- 1 \cdot 8]$ .

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$- 2 z^{7} + 2 z^{3} + \frac{d}{d z} [- 8]$

Schritt 4.2

Da $- 8$ konstant bezüglich $z$ ist, ist die Ableitung von $- 8$ bezüglich $z$ gleich $0$ .

$- 2 z^{7} + 2 z^{3} + 0$

Schritt 5

Addiere $- 2 z^{7} + 2 z^{3}$ und $0$ .

$- 2 z^{7} + 2 z^{3}$