Analysis Beispiele

$y = 3 x^{5} - 2 x^{- 3} + \sqrt[4]{x^{7}}$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{5} - 2 x^{- 3} + \sqrt[4]{x^{7}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\sqrt[4]{x^{7}}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\sqrt[4]{x^{7}}]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{5}]$ .

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Schritt 2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{5}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\sqrt[4]{x^{7}}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\sqrt[4]{x^{7}}]$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$15 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\sqrt[4]{x^{7}}]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 x^{- 3}]$ .

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Schritt 3.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x^{- 3}$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$ .

$15 x^{4} - 2 \frac{d}{d x} [x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\sqrt[4]{x^{7}}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 3$ .

$15 x^{4} - 2 (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [\sqrt[4]{x^{7}}]$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 2$ .

$15 x^{4} + 6 x^{- 4} + \frac{d}{d x} [\sqrt[4]{x^{7}}]$

Schritt 4

Berechne $\frac{d}{d x} [\sqrt[4]{x^{7}}]$ .

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Schritt 4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[4]{x^{7}}$ als $x^{\frac{7}{4}}$ neu zu schreiben.

$15 x^{4} + 6 x^{- 4} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{4}}]$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{7}{4}$ .

$15 x^{4} + 6 x^{- 4} + \frac{7}{4} x^{\frac{7}{4} - 1}$

Schritt 4.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$15 x^{4} + 6 x^{- 4} + \frac{7}{4} x^{\frac{7}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}}$

Schritt 4.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{4}{4}$ .

$15 x^{4} + 6 x^{- 4} + \frac{7}{4} x^{\frac{7}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}}$

Schritt 4.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$15 x^{4} + 6 x^{- 4} + \frac{7}{4} x^{\frac{7 - 1 \cdot 4}{4}}$

Schritt 4.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$15 x^{4} + 6 x^{- 4} + \frac{7}{4} x^{\frac{7 - 4}{4}}$

Schritt 4.6.2

Subtrahiere $4$ von $7$ .

$15 x^{4} + 6 x^{- 4} + \frac{7}{4} x^{\frac{3}{4}}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$15 x^{4} + 6 \frac{1}{x^{4}} + \frac{7}{4} x^{\frac{3}{4}}$

Schritt 5.2

Kombiniere $6$ und $\frac{1}{x^{4}}$ .

$15 x^{4} + \frac{6}{x^{4}} + \frac{7}{4} x^{\frac{3}{4}}$

Schritt 5.3

Stelle die Terme um.

$15 x^{4} + \frac{7}{4} x^{\frac{3}{4}} + \frac{6}{x^{4}}$

Schritt 5.4

Kombiniere $\frac{7}{4}$ und $x^{\frac{3}{4}}$ .

$15 x^{4} + \frac{7 x^{\frac{3}{4}}}{4} + \frac{6}{x^{4}}$