Analysis Beispiele

$y = 3 \sin (x) \cot (x)$

Schritt 1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 \sin (x) \cot (x)$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cot (x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cot (x)]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = \cot (x)$ .

$3 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)] + \cot (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 3

Die Ableitung von $\cot (x)$ nach $x$ ist $- \csc^{2} (x)$ .

$3 (\sin (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 4

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$3 (\sin (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) \cos (x))$

Schritt 5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 (\sin (x) (- \csc^{2} (x))) + 3 (\cot (x) \cos (x))$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- 3 \sin (x) \csc^{2} (x) + 3 \cot (x) \cos (x)$

Schritt 5.3

Stelle die Terme um.

$- 3 \csc^{2} (x) \sin (x) + 3 \cos (x) \cot (x)$

Schritt 5.4

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.1

Schreibe $\csc (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$- 3 {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} \sin (x) + 3 \cos (x) \cot (x)$

Schritt 5.4.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\sin (x)}$ an.

$- 3 \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} \sin (x) + 3 \cos (x) \cot (x)$

Schritt 5.4.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- 3 \frac{1}{\sin^{2} (x)} \sin (x) + 3 \cos (x) \cot (x)$

Schritt 5.4.4

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ .

$\frac{- 3}{\sin^{2} (x)} \sin (x) + 3 \cos (x) \cot (x)$

Schritt 5.4.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.5.1

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $\sin^{2} (x)$ heraus.

$\frac{- 3}{\sin (x) \sin (x)} \sin (x) + 3 \cos (x) \cot (x)$

Schritt 5.4.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 3}{\sin (x) \sin (x)} \sin (x) + 3 \cos (x) \cot (x)$

Schritt 5.4.5.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 3}{\sin (x)} + 3 \cos (x) \cot (x)$

Schritt 5.4.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3}{\sin (x)} + 3 \cos (x) \cot (x)$

Schritt 5.4.7

Schreibe $\cot (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$- \frac{3}{\sin (x)} + 3 \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 5.4.8

Multipliziere $3 \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.8.1

Kombiniere $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ und $3$ .

$- \frac{3}{\sin (x)} + \frac{\cos (x) \cdot 3}{\sin (x)} \cos (x)$

Schritt 5.4.8.2

Kombiniere $\frac{\cos (x) \cdot 3}{\sin (x)}$ und $\cos (x)$ .

$- \frac{3}{\sin (x)} + \frac{\cos (x) \cdot 3 \cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 5.4.8.3

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$- \frac{3}{\sin (x)} + \frac{3 (\cos^{1} (x) \cos (x))}{\sin (x)}$

Schritt 5.4.8.4

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$- \frac{3}{\sin (x)} + \frac{3 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))}{\sin (x)}$

Schritt 5.4.8.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{3}{\sin (x)} + \frac{3 {\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x)}$

Schritt 5.4.8.6

Addiere $1$ und $1$ .

$- \frac{3}{\sin (x)} + \frac{3 \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Schritt 5.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 3 + 3 \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Schritt 5.6

Faktorisiere $- 3$ aus $- 3$ heraus.

$\frac{- 3 (1) + 3 \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Schritt 5.7

Faktorisiere $- 3$ aus $3 \cos^{2} (x)$ heraus.

$\frac{- 3 (1) - 3 (- \cos^{2} (x))}{\sin (x)}$

Schritt 5.8

Faktorisiere $- 3$ aus $- 3 (1) - 3 (- \cos^{2} (x))$ heraus.

$\frac{- 3 (1 - \cos^{2} (x))}{\sin (x)}$

Schritt 5.9

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{- 3 \sin^{2} (x)}{\sin (x)}$

Schritt 5.10

Kürze den gemeinsamen Teiler von $\sin^{2} (x)$ und $\sin (x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.10.1

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $- 3 \sin^{2} (x)$ heraus.

$\frac{\sin (x) (- 3 \sin (x))}{\sin (x)}$

Schritt 5.10.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.10.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{\sin (x) (- 3 \sin (x))}{\sin (x) \cdot 1}$

Schritt 5.10.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sin (x) (- 3 \sin (x))}{\sin (x) \cdot 1}$

Schritt 5.10.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 3 \sin (x)}{1}$

Schritt 5.10.2.4

Dividiere $- 3 \sin (x)$ durch $1$ .

$- 3 \sin (x)$