Analysis Beispiele

$y = 4 \arctan (3 x^{4})$

Schritt 1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 \arctan (3 x^{4})$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [\arctan (3 x^{4})]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\arctan (3 x^{4})]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \arctan (x)$ und $g (x) = 3 x^{4}$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 x^{4}$ .

$4 (\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [3 x^{4}])$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\arctan (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$4 (\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{4}])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $3 x^{4}$ .

$4 (\frac{1}{1 + {(3 x^{4})}^{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{4}])$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{4}$ heraus.

$4 (\frac{1}{1 + {(3 (x^{4}))}^{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{4}])$

Schritt 3.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.1.1

Wende die Produktregel auf $3 (x^{4})$ an.

$4 (\frac{1}{1 + 3^{2} {(x^{4})}^{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{4}])$

Schritt 3.2.1.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$4 (\frac{1}{1 + 9 {(x^{4})}^{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{4}])$

Schritt 3.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{4})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 (\frac{1}{1 + 9 x^{4 \cdot 2}} \frac{d}{d x} [3 x^{4}])$

Schritt 3.2.1.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$4 (\frac{1}{1 + 9 x^{8}} \frac{d}{d x} [3 x^{4}])$

Schritt 3.2.2

Kombiniere $\frac{1}{1 + 9 x^{8}}$ und $4$ .

$\frac{4}{1 + 9 x^{8}} \frac{d}{d x} [3 x^{4}]$

Schritt 3.3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{4}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{4}{1 + 9 x^{8}} (3 \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Schritt 3.4

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.4.1

Kombiniere $3$ und $\frac{4}{1 + 9 x^{8}}$ .

$\frac{3 \cdot 4}{1 + 9 x^{8}} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 3.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$\frac{12}{1 + 9 x^{8}} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$\frac{12}{1 + 9 x^{8}} (4 x^{3})$

Schritt 3.6

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.6.1

Kombiniere $4$ und $\frac{12}{1 + 9 x^{8}}$ .

$\frac{4 \cdot 12}{1 + 9 x^{8}} x^{3}$

Schritt 3.6.2

Mutltipliziere $4$ mit $12$ .

$\frac{48}{1 + 9 x^{8}} x^{3}$

Schritt 3.6.3

Kombiniere $\frac{48}{1 + 9 x^{8}}$ und $x^{3}$ .

$\frac{48 x^{3}}{1 + 9 x^{8}}$

Schritt 3.6.4

Stelle die Terme um.

$\frac{48 x^{3}}{9 x^{8} + 1}$