Analysis Beispiele

$y = 4000 {(1 - \frac{x}{800})}^{2}$

Schritt 1

Schreibe ${(1 - \frac{x}{800})}^{2}$ als $(1 - \frac{x}{800}) (1 - \frac{x}{800})$ um.

$\frac{d}{d x} [4000 ((1 - \frac{x}{800}) (1 - \frac{x}{800}))]$

Schritt 2

Multipliziere $(1 - \frac{x}{800}) (1 - \frac{x}{800})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [4000 (1 (1 - \frac{x}{800}) - \frac{x}{800} (1 - \frac{x}{800}))]$

Schritt 2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [4000 (1 \cdot 1 + 1 (- \frac{x}{800}) - \frac{x}{800} (1 - \frac{x}{800}))]$

Schritt 2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [4000 (1 \cdot 1 + 1 (- \frac{x}{800}) - \frac{x}{800} \cdot 1 - \frac{x}{800} (- \frac{x}{800}))]$

Schritt 3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\frac{d}{d x} [4000 (1 + 1 (- \frac{x}{800}) - \frac{x}{800} \cdot 1 - \frac{x}{800} (- \frac{x}{800}))]$

Schritt 3.1.2

Mutltipliziere $- \frac{x}{800}$ mit $1$ .

$\frac{d}{d x} [4000 (1 - \frac{x}{800} - \frac{x}{800} \cdot 1 - \frac{x}{800} (- \frac{x}{800}))]$

Schritt 3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{d}{d x} [4000 (1 - \frac{x}{800} - \frac{x}{800} - \frac{x}{800} (- \frac{x}{800}))]$

Schritt 3.1.4

Multipliziere $- \frac{x}{800} (- \frac{x}{800})$ .

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Schritt 3.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [4000 (1 - \frac{x}{800} - \frac{x}{800} + 1 \frac{x}{800} \frac{x}{800})]$

Schritt 3.1.4.2

Mutltipliziere $\frac{x}{800}$ mit $1$ .

$\frac{d}{d x} [4000 (1 - \frac{x}{800} - \frac{x}{800} + \frac{x}{800} \cdot \frac{x}{800})]$

Schritt 3.1.4.3

Mutltipliziere $\frac{x}{800}$ mit $\frac{x}{800}$ .

$\frac{d}{d x} [4000 (1 - \frac{x}{800} - \frac{x}{800} + \frac{x \cdot x}{800 \cdot 800})]$

Schritt 3.1.4.4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{d}{d x} [4000 (1 - \frac{x}{800} - \frac{x}{800} + \frac{x^{1} x}{800 \cdot 800})]$

Schritt 3.1.4.5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{d}{d x} [4000 (1 - \frac{x}{800} - \frac{x}{800} + \frac{x^{1} x^{1}}{800 \cdot 800})]$

Schritt 3.1.4.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d}{d x} [4000 (1 - \frac{x}{800} - \frac{x}{800} + \frac{x^{1 + 1}}{800 \cdot 800})]$

Schritt 3.1.4.7

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{d}{d x} [4000 (1 - \frac{x}{800} - \frac{x}{800} + \frac{x^{2}}{800 \cdot 800})]$

Schritt 3.1.4.8

Mutltipliziere $800$ mit $800$ .

$\frac{d}{d x} [4000 (1 - \frac{x}{800} - \frac{x}{800} + \frac{x^{2}}{640000})]$

Schritt 3.2

Subtrahiere $\frac{x}{800}$ von $- \frac{x}{800}$ .

$\frac{d}{d x} [4000 (1 - 2 \frac{x}{800} + \frac{x^{2}}{640000})]$

Schritt 4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{d}{d x} [4000 (1 + 2 (- 1) \frac{x}{800} + \frac{x^{2}}{640000})]$

Schritt 4.1.2

Faktorisiere $2$ aus $800$ heraus.

$\frac{d}{d x} [4000 (1 + 2 \cdot - 1 \frac{x}{2 \cdot 400} + \frac{x^{2}}{640000})]$

Schritt 4.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d}{d x} [4000 (1 + 2 \cdot - 1 \frac{x}{2 \cdot 400} + \frac{x^{2}}{640000})]$

Schritt 4.1.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d}{d x} [4000 (1 - 1 \frac{x}{400} + \frac{x^{2}}{640000})]$

Schritt 4.2

Schreibe $- 1 \frac{x}{400}$ als $- \frac{x}{400}$ um.

$\frac{d}{d x} [4000 (1 - \frac{x}{400} + \frac{x^{2}}{640000})]$

Schritt 5

Da $4000$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4000 (1 - \frac{x}{400} + \frac{x^{2}}{640000})$ nach $x$ gleich $4000 \frac{d}{d x} [1 - \frac{x}{400} + \frac{x^{2}}{640000}]$ .

$4000 \frac{d}{d x} [1 - \frac{x}{400} + \frac{x^{2}}{640000}]$

Schritt 6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - \frac{x}{400} + \frac{x^{2}}{640000}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{400}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{640000}]$ .

$4000 (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{400}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{640000}])$

Schritt 7

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$4000 (0 + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{400}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{640000}])$

Schritt 8

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- \frac{x}{400}]$ .

$4000 (\frac{d}{d x} [- \frac{x}{400}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{640000}])$

Schritt 9

Da $- \frac{1}{400}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{x}{400}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{400} \frac{d}{d x} [x]$ .

$4000 (- \frac{1}{400} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{640000}])$

Schritt 10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4000 (- \frac{1}{400} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{640000}])$

Schritt 11

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$4000 (- \frac{1}{400} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{640000}])$

Schritt 12

Da $\frac{1}{640000}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x^{2}}{640000}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{640000} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4000 (- \frac{1}{400} + \frac{1}{640000} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 13

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4000 (- \frac{1}{400} + \frac{1}{640000} (2 x))$

Schritt 14

Vereinfache Terme.

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Schritt 14.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{640000}$ .

$4000 (- \frac{1}{400} + \frac{2}{640000} x)$

Schritt 14.2

Kombiniere $\frac{2}{640000}$ und $x$ .

$4000 (- \frac{1}{400} + \frac{2 x}{640000})$

Schritt 14.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $640000$ .

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Schritt 14.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$4000 (- \frac{1}{400} + \frac{2 (x)}{640000})$

Schritt 14.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 14.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $640000$ heraus.

$4000 (- \frac{1}{400} + \frac{2 x}{2 \cdot 320000})$

Schritt 14.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4000 (- \frac{1}{400} + \frac{2 x}{2 \cdot 320000})$

Schritt 14.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$4000 (- \frac{1}{400} + \frac{x}{320000})$

Schritt 15

Vereinfache.

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Schritt 15.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4000 (- \frac{1}{400}) + 4000 \frac{x}{320000}$

Schritt 15.2

Vereine die Terme

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Schritt 15.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4000$ .

$- 4000 (\frac{1}{400}) + 4000 \frac{x}{320000}$

Schritt 15.2.2

Kombiniere $- 4000$ und $\frac{1}{400}$ .

$\frac{- 4000}{400} + 4000 \frac{x}{320000}$

Schritt 15.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4000$ und $400$ .

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Schritt 15.2.3.1

Faktorisiere $400$ aus $- 4000$ heraus.

$\frac{400 \cdot - 10}{400} + 4000 \frac{x}{320000}$

Schritt 15.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 15.2.3.2.1

Faktorisiere $400$ aus $400$ heraus.

$\frac{400 \cdot - 10}{400 (1)} + 4000 \frac{x}{320000}$

Schritt 15.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{400 \cdot - 10}{400 \cdot 1} + 4000 \frac{x}{320000}$

Schritt 15.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 10}{1} + 4000 \frac{x}{320000}$

Schritt 15.2.3.2.4

Dividiere $- 10$ durch $1$ .

$- 10 + 4000 \frac{x}{320000}$

Schritt 15.2.4

Kombiniere $4000$ und $\frac{x}{320000}$ .

$- 10 + \frac{4000 x}{320000}$

Schritt 15.2.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4000$ und $320000$ .

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Schritt 15.2.5.1

Faktorisiere $4000$ aus $4000 x$ heraus.

$- 10 + \frac{4000 (x)}{320000}$

Schritt 15.2.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 15.2.5.2.1

Faktorisiere $4000$ aus $320000$ heraus.

$- 10 + \frac{4000 x}{4000 \cdot 80}$

Schritt 15.2.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 10 + \frac{4000 x}{4000 \cdot 80}$

Schritt 15.2.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- 10 + \frac{x}{80}$

Schritt 15.3

Stelle die Terme um.

$\frac{x}{80} - 10$