Analysis Beispiele

$y = 4 \ln (x^{2} e^{x})$

Schritt 1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 \ln (x^{2} e^{x})$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} e^{x})]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} e^{x})]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = x^{2} e^{x}$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} e^{x}$ .

$4 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}])$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$4 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} e^{x}$ .

$4 (\frac{1}{x^{2} e^{x}} \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}])$

Schritt 3

Kombiniere $\frac{1}{x^{2} e^{x}}$ und $4$ .

$\frac{4}{x^{2} e^{x}} \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{4}{x^{2} e^{x}} (x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 5

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{4}{x^{2} e^{x}} (x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{4}{x^{2} e^{x}} (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x))$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4}{x^{2} e^{x}} (x^{2} e^{x}) + \frac{4}{x^{2} e^{x}} (e^{x} (2 x))$

Schritt 7.2

Vereine die Terme

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Schritt 7.2.1

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{4}{x^{2} e^{x}}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 4}{x^{2} e^{x}} e^{x} + \frac{4}{x^{2} e^{x}} (e^{x} (2 x))$

Schritt 7.2.2

Kombiniere $\frac{x^{2} \cdot 4}{x^{2} e^{x}}$ und $e^{x}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 4 e^{x}}{x^{2} e^{x}} + \frac{4}{x^{2} e^{x}} (e^{x} (2 x))$

Schritt 7.2.3

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$\frac{4 \cdot x^{2} e^{x}}{x^{2} e^{x}} + \frac{4}{x^{2} e^{x}} (e^{x} (2 x))$

Schritt 7.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 7.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x^{2} e^{x}}{x^{2} e^{x}} + \frac{4}{x^{2} e^{x}} (e^{x} (2 x))$

Schritt 7.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 e^{x}}{e^{x}} + \frac{4}{x^{2} e^{x}} (e^{x} (2 x))$

Schritt 7.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{x}$ .

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Schritt 7.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 e^{x}}{e^{x}} + \frac{4}{x^{2} e^{x}} (e^{x} (2 x))$

Schritt 7.2.5.2

Dividiere $4$ durch $1$ .

$4 + \frac{4}{x^{2} e^{x}} (e^{x} (2 x))$

Schritt 7.2.6

Kombiniere $e^{x}$ und $\frac{4}{x^{2} e^{x}}$ .

$4 + \frac{e^{x} \cdot 4}{x^{2} e^{x}} (2 x)$

Schritt 7.2.7

Kombiniere $2$ und $\frac{e^{x} \cdot 4}{x^{2} e^{x}}$ .

$4 + \frac{2 (e^{x} \cdot 4)}{x^{2} e^{x}} x$

Schritt 7.2.8

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$4 + \frac{8 e^{x}}{x^{2} e^{x}} x$

Schritt 7.2.9

Kombiniere $\frac{8 e^{x}}{x^{2} e^{x}}$ und $x$ .

$4 + \frac{8 e^{x} x}{x^{2} e^{x}}$

Schritt 7.2.10

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{x}$ .

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Schritt 7.2.10.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 + \frac{8 e^{x} x}{x^{2} e^{x}}$

Schritt 7.2.10.2

Forme den Ausdruck um.

$4 + \frac{8 x}{x^{2}}$

Schritt 7.2.11

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{2}$ .

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Schritt 7.2.11.1

Faktorisiere $x$ aus $8 x$ heraus.

$4 + \frac{x \cdot 8}{x^{2}}$

Schritt 7.2.11.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.11.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$4 + \frac{x \cdot 8}{x \cdot x}$

Schritt 7.2.11.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 + \frac{x \cdot 8}{x \cdot x}$

Schritt 7.2.11.2.3

Forme den Ausdruck um.

$4 + \frac{8}{x}$

Schritt 7.3

Stelle die Terme um.

$\frac{8}{x} + 4$