Analysis Beispiele

$y = 4 x e^{3 x^{4}}$

Schritt 1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x e^{3 x^{4}}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x e^{3 x^{4}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x e^{3 x^{4}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = e^{3 x^{4}}$ .

$4 (x \frac{d}{d x} [e^{3 x^{4}}] + e^{3 x^{4}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 3 x^{4}$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 x^{4}$ .

$4 (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x^{4}]) + e^{3 x^{4}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$4 (x (e^{u} \frac{d}{d x} [3 x^{4}]) + e^{3 x^{4}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u$ durch $3 x^{4}$ .

$4 (x (e^{3 x^{4}} \frac{d}{d x} [3 x^{4}]) + e^{3 x^{4}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{4}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$4 (x (e^{3 x^{4}} (3 \frac{d}{d x} [x^{4}])) + e^{3 x^{4}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$4 (x (e^{3 x^{4}} (3 (4 x^{3}))) + e^{3 x^{4}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$4 (x (e^{3 x^{4}} (12 x^{3})) + e^{3 x^{4}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$4 (x^{3} x^{1} (e^{3 x^{4}} \cdot (12)) + e^{3 x^{4}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 (x^{3 + 1} (e^{3 x^{4}} \cdot (12)) + e^{3 x^{4}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.1

Addiere $3$ und $1$ .

$4 (x^{4} (e^{3 x^{4}} \cdot (12)) + e^{3 x^{4}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 7.2

Bringe $12$ auf die linke Seite von $e^{3 x^{4}}$ .

$4 (x^{4} (12 \cdot e^{3 x^{4}}) + e^{3 x^{4}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 (x^{4} (12 e^{3 x^{4}}) + e^{3 x^{4}} \cdot 1)$

Schritt 9

Mutltipliziere $e^{3 x^{4}}$ mit $1$ .

$4 (x^{4} (12 e^{3 x^{4}}) + e^{3 x^{4}})$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 (x^{4} (12 e^{3 x^{4}})) + 4 e^{3 x^{4}}$

Schritt 10.2

Mutltipliziere $12$ mit $4$ .

$48 x^{4} e^{3 x^{4}} + 4 e^{3 x^{4}}$

Schritt 10.3

Stelle die Terme um.

$48 e^{3 x^{4}} x^{4} + 4 e^{3 x^{4}}$

Schritt 10.4

Stelle die Faktoren in $48 e^{3 x^{4}} x^{4} + 4 e^{3 x^{4}}$ um.

$48 x^{4} e^{3 x^{4}} + 4 e^{3 x^{4}}$