Analysis Beispiele

$y = 4 x^{6} - 2 x^{4} + \frac{1}{x} - \frac{1}{2}$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x^{6} - 2 x^{4} + \frac{1}{x} - \frac{1}{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2}]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x^{6}]$ .

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Schritt 2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{6}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 6$ .

$4 (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2}]$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $6$ mit $4$ .

$24 x^{5} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2}]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 x^{4}]$ .

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Schritt 3.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x^{4}$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$24 x^{5} - 2 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$24 x^{5} - 2 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2}]$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 2$ .

$24 x^{5} - 8 x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2}]$

Schritt 4

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

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Schritt 4.1

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$24 x^{5} - 8 x^{3} + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2}]$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$24 x^{5} - 8 x^{3} - x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2}]$

Schritt 5

Da $- \frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{1}{2}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$24 x^{5} - 8 x^{3} - x^{- 2} + 0$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$24 x^{5} - 8 x^{3} - \frac{1}{x^{2}} + 0$

Schritt 6.2

Addiere $24 x^{5} - 8 x^{3} - \frac{1}{x^{2}}$ und $0$ .

$24 x^{5} - 8 x^{3} - \frac{1}{x^{2}}$