Analysis Beispiele

$y = 4 x^{3} \ln (2 x^{5})$

Schritt 1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{3} \ln (2 x^{5})$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{3} \ln (2 x^{5})]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3} \ln (2 x^{5})]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = \ln (2 x^{5})$ .

$4 (x^{3} \frac{d}{d x} [\ln (2 x^{5})] + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 2 x^{5}$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x^{5}$ .

$4 (x^{3} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 x^{5}]) + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 3.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$4 (x^{3} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 x^{5}]) + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x^{5}$ .

$4 (x^{3} (\frac{1}{2 x^{5}} \frac{d}{d x} [2 x^{5}]) + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Kombiniere $\frac{1}{2 x^{5}}$ und $x^{3}$ .

$4 (\frac{x^{3}}{2 x^{5}} \frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{3}$ und $x^{5}$ .

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Schritt 4.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$4 (\frac{x^{3} \cdot 1}{2 x^{5}} \frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 4.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.2.1

Faktorisiere $x^{3}$ aus $2 x^{5}$ heraus.

$4 (\frac{x^{3} \cdot 1}{x^{3} (2 x^{2})} \frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 4.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 (\frac{x^{3} \cdot 1}{x^{3} (2 x^{2})} \frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 4.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$4 (\frac{1}{2 x^{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 4.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{5}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$4 (\frac{1}{2 x^{2}} (2 \frac{d}{d x} [x^{5}]) + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 4.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.4.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$4 (\frac{2}{2 x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 4.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 (\frac{2}{2 x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 4.4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$4 (\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 4.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$4 (\frac{1}{x^{2}} (5 x^{4}) + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 4.6

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.6.1

Kombiniere $5$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$4 (\frac{5}{x^{2}} x^{4} + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 4.6.2

Kombiniere $\frac{5}{x^{2}}$ und $x^{4}$ .

$4 (\frac{5 x^{4}}{x^{2}} + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 4.6.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{4}$ und $x^{2}$ .

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Schritt 4.6.3.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $5 x^{4}$ heraus.

$4 (\frac{x^{2} (5 x^{2})}{x^{2}} + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 4.6.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.6.3.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$4 (\frac{x^{2} (5 x^{2})}{x^{2} \cdot 1} + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 4.6.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 (\frac{x^{2} (5 x^{2})}{x^{2} \cdot 1} + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 4.6.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$4 (\frac{5 x^{2}}{1} + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 4.6.3.2.4

Dividiere $5 x^{2}$ durch $1$ .

$4 (5 x^{2} + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 4.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$4 (5 x^{2} + \ln (2 x^{5}) (3 x^{2}))$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 (5 x^{2}) + 4 (\ln (2 x^{5}) (3 x^{2}))$

Schritt 5.2

Vereine die Terme

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Schritt 5.2.1

Mutltipliziere $5$ mit $4$ .

$20 x^{2} + 4 (\ln (2 x^{5}) (3 x^{2}))$

Schritt 5.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$20 x^{2} + 12 \ln (2 x^{5}) x^{2}$

Schritt 5.3

Stelle die Terme um.

$20 x^{2} + 12 x^{2} \ln (2 x^{5})$