Analysis Beispiele

$lim_{x \to 7} \sec (\frac{π x}{6})$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sekans ist stetig.

$\sec (lim_{x \to 7} \frac{π x}{6})$

Schritt 1.2

Ziehe den Term $\frac{π}{6}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\sec (\frac{π}{6} lim_{x \to 7} x)$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $7$ für $x$ .

$\sec (\frac{π}{6} \cdot 7)$

Schritt 3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1

Kombiniere $\frac{π}{6}$ und $7$ .

$\sec (\frac{π \cdot 7}{6})$

Schritt 3.2

Bringe $7$ auf die linke Seite von $π$ .

$\sec (\frac{7 \cdot π}{6})$

Schritt 3.3

Wende den Referenzwinkel an durch Ermitteln des Winkels mit äquivalenten trigonometrischen Werten im ersten Quadranten. Mache den Ausdruck negativ, da der Sekans im dritten Quadranten negativ ist.

$- \sec (\frac{π}{6})$

Schritt 3.4

Der genau Wert von $\sec (\frac{π}{6})$ ist $\frac{2}{\sqrt{3}}$ .

$- \frac{2}{\sqrt{3}}$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$- (\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Schritt 3.6

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.6.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$- \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 3.6.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$- \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Schritt 3.6.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$- \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Schritt 3.6.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Schritt 3.6.5

Addiere $1$ und $1$ .

$- \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 3.6.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 3.6.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 3.6.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 3.6.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$- \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.6.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.6.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.6.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Schritt 3.6.6.5

Berechne den Exponenten.

$- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Dezimalform:

$- 1.15470053 \dots$