Analysis Beispiele

$y = 5 x^{2} \ln (\frac{x}{4})$

Schritt 1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x^{2} \ln (\frac{x}{4})$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (\frac{x}{4})]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (\frac{x}{4})]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \ln (\frac{x}{4})$ .

$5 (x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (\frac{x}{4})] + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = \frac{x}{4}$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{x}{4}$ .

$5 (x^{2} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$5 (x^{2} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{x}{4}$ .

$5 (x^{2} (\frac{1}{\frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 4

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{x}{4}$ zu dividieren.

$5 (x^{2} (1 \frac{4}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 5

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $\frac{4}{x}$ mit $1$ .

$5 (x^{2} (\frac{4}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 5.2

Kombiniere $\frac{4}{x}$ und $x^{2}$ .

$5 (\frac{4 x^{2}}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 5.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere $x$ aus $4 x^{2}$ heraus.

$5 (\frac{x (4 x)}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 5.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$5 (\frac{x (4 x)}{x^{1}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 5.3.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$5 (\frac{x (4 x)}{x \cdot 1} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 5.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 (\frac{x (4 x)}{x \cdot 1} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 5.3.2.4

Forme den Ausdruck um.

$5 (\frac{4 x}{1} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 5.3.2.5

Dividiere $4 x$ durch $1$ .

$5 (4 x \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 6

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x}{4}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 (4 x (\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 7

Vereinfache Terme.

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Schritt 7.1

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{4}$ .

$5 (x (\frac{4}{4} \frac{d}{d x} [x]) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 7.2

Kombiniere $\frac{4}{4}$ und $x$ .

$5 (\frac{4 x}{4} \frac{d}{d x} [x] + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 7.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 7.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 (\frac{4 x}{4} \frac{d}{d x} [x] + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 7.3.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$5 (x \frac{d}{d x} [x] + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 (x \cdot 1 + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 9

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$5 (x + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$5 (x + \ln (\frac{x}{4}) (2 x))$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Wende das Distributivgesetz an.

$5 x + 5 (\ln (\frac{x}{4}) (2 x))$

Schritt 11.2

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$5 x + 10 \ln (\frac{x}{4}) x$

Schritt 11.3

Stelle die Terme um.

$10 x \ln (\frac{x}{4}) + 5 x$