Analysis Beispiele

$y = 5 x^{\frac{8}{5}} - 3 x^{\frac{5}{6}} + x^{\frac{1}{3}} + 5$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 x^{\frac{8}{5}} - 3 x^{\frac{5}{6}} + x^{\frac{1}{3}} + 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{8}{5}}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{5}{6}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{8}{5}}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{5}{6}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{8}{5}}]$ .

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Schritt 2.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x^{\frac{8}{5}}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{8}{5}}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{8}{5}}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{5}{6}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{8}{5}$ .

$5 (\frac{8}{5} x^{\frac{8}{5} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{5}{6}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 2.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$5 (\frac{8}{5} x^{\frac{8}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{5}{6}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 2.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{5}{5}$ .

$5 (\frac{8}{5} x^{\frac{8}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{5}{6}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$5 (\frac{8}{5} x^{\frac{8 - 1 \cdot 5}{5}}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{5}{6}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$5 (\frac{8}{5} x^{\frac{8 - 5}{5}}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{5}{6}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 2.6.2

Subtrahiere $5$ von $8$ .

$5 (\frac{8}{5} x^{\frac{3}{5}}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{5}{6}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 2.7

Kombiniere $\frac{8}{5}$ und $x^{\frac{3}{5}}$ .

$5 \frac{8 x^{\frac{3}{5}}}{5} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{5}{6}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 2.8

Kombiniere $5$ und $\frac{8 x^{\frac{3}{5}}}{5}$ .

$\frac{5 (8 x^{\frac{3}{5}})}{5} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{5}{6}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 2.9

Mutltipliziere $8$ mit $5$ .

$\frac{40 x^{\frac{3}{5}}}{5} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{5}{6}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 2.10

Faktorisiere $5$ aus $40 x^{\frac{3}{5}}$ heraus.

$\frac{5 (8 x^{\frac{3}{5}})}{5} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{5}{6}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 2.11

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.11.1

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$\frac{5 (8 x^{\frac{3}{5}})}{5 (1)} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{5}{6}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 2.11.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 (8 x^{\frac{3}{5}})}{5 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{5}{6}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 2.11.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{8 x^{\frac{3}{5}}}{1} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{5}{6}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 2.11.4

Dividiere $8 x^{\frac{3}{5}}$ durch $1$ .

$8 x^{\frac{3}{5}} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{5}{6}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{5}{6}}]$ .

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Schritt 3.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x^{\frac{5}{6}}$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{6}}]$ .

$8 x^{\frac{3}{5}} - 3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{6}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{5}{6}$ .

$8 x^{\frac{3}{5}} - 3 (\frac{5}{6} x^{\frac{5}{6} - 1}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 3.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$8 x^{\frac{3}{5}} - 3 (\frac{5}{6} x^{\frac{5}{6} - 1 \cdot \frac{6}{6}}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 3.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{6}{6}$ .

$8 x^{\frac{3}{5}} - 3 (\frac{5}{6} x^{\frac{5}{6} + \frac{- 1 \cdot 6}{6}}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$8 x^{\frac{3}{5}} - 3 (\frac{5}{6} x^{\frac{5 - 1 \cdot 6}{6}}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$8 x^{\frac{3}{5}} - 3 (\frac{5}{6} x^{\frac{5 - 6}{6}}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 3.6.2

Subtrahiere $6$ von $5$ .

$8 x^{\frac{3}{5}} - 3 (\frac{5}{6} x^{\frac{- 1}{6}}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 3.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$8 x^{\frac{3}{5}} - 3 (\frac{5}{6} x^{- \frac{1}{6}}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 3.8

Kombiniere $\frac{5}{6}$ und $x^{- \frac{1}{6}}$ .

$8 x^{\frac{3}{5}} - 3 \frac{5 x^{- \frac{1}{6}}}{6} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 3.9

Kombiniere $- 3$ und $\frac{5 x^{- \frac{1}{6}}}{6}$ .

$8 x^{\frac{3}{5}} + \frac{- 3 (5 x^{- \frac{1}{6}})}{6} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 3.10

Mutltipliziere $5$ mit $- 3$ .

$8 x^{\frac{3}{5}} + \frac{- 15 x^{- \frac{1}{6}}}{6} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 3.11

Bringe $x^{- \frac{1}{6}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$8 x^{\frac{3}{5}} + \frac{- 15}{6 x^{\frac{1}{6}}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 3.12

Faktorisiere $3$ aus $- 15$ heraus.

$8 x^{\frac{3}{5}} + \frac{3 (- 5)}{6 x^{\frac{1}{6}}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 3.13

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.13.1

Faktorisiere $3$ aus $6 x^{\frac{1}{6}}$ heraus.

$8 x^{\frac{3}{5}} + \frac{3 (- 5)}{3 (2 x^{\frac{1}{6}})} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 3.13.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$8 x^{\frac{3}{5}} + \frac{3 \cdot - 5}{3 (2 x^{\frac{1}{6}})} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 3.13.3

Forme den Ausdruck um.

$8 x^{\frac{3}{5}} + \frac{- 5}{2 x^{\frac{1}{6}}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 3.14

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$8 x^{\frac{3}{5}} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{6}}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 4

Berechne $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

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Schritt 4.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{3}$ .

$8 x^{\frac{3}{5}} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{6}}} + \frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 4.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$8 x^{\frac{3}{5}} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{6}}} + \frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 4.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$8 x^{\frac{3}{5}} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{6}}} + \frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$8 x^{\frac{3}{5}} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{6}}} + \frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 4.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$8 x^{\frac{3}{5}} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{6}}} + \frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 4.5.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$8 x^{\frac{3}{5}} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{6}}} + \frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}} + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 4.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$8 x^{\frac{3}{5}} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{6}}} + \frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 5

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$8 x^{\frac{3}{5}} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{6}}} + \frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + 0$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$8 x^{\frac{3}{5}} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{6}}} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} + 0$

Schritt 6.2

Vereine die Terme

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Schritt 6.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$8 x^{\frac{3}{5}} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{6}}} + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 0$

Schritt 6.2.2

Addiere $8 x^{\frac{3}{5}} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{6}}} + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ und $0$ .

$8 x^{\frac{3}{5}} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{6}}} + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 6.3

Stelle die Terme um.

$8 x^{\frac{3}{5}} + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{6}}}$