Analysis Beispiele

$y = 5 x e^{5 x} - e^{5 x}$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 x e^{5 x} - e^{5 x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 x e^{5 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{5 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x e^{5 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{5 x}]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [5 x e^{5 x}]$ .

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Schritt 2.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x e^{5 x}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x e^{5 x}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x e^{5 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{5 x}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = e^{5 x}$ .

$5 (x \frac{d}{d x} [e^{5 x}] + e^{5 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- e^{5 x}]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 5 x$ .

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Schritt 2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $5 x$ .

$5 (x (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [5 x]) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- e^{5 x}]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$5 (x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [5 x]) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- e^{5 x}]$

Schritt 2.3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $5 x$ .

$5 (x (e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x]) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- e^{5 x}]$

Schritt 2.4

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 (x (e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x])) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- e^{5 x}]$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 (x (e^{5 x} (5 \cdot 1)) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- e^{5 x}]$

Schritt 2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 (x (e^{5 x} (5 \cdot 1)) + e^{5 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- e^{5 x}]$

Schritt 2.7

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$5 (x (e^{5 x} \cdot 5) + e^{5 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- e^{5 x}]$

Schritt 2.8

Bringe $5$ auf die linke Seite von $e^{5 x}$ .

$5 (x (5 \cdot e^{5 x}) + e^{5 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- e^{5 x}]$

Schritt 2.9

Mutltipliziere $e^{5 x}$ mit $1$ .

$5 (x (5 e^{5 x}) + e^{5 x}) + \frac{d}{d x} [- e^{5 x}]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [- e^{5 x}]$ .

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Schritt 3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- e^{5 x}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [e^{5 x}]$ .

$5 (x (5 e^{5 x}) + e^{5 x}) - \frac{d}{d x} [e^{5 x}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 5 x$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $5 x$ .

$5 (x (5 e^{5 x}) + e^{5 x}) - (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [5 x])$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ gleich $a^{u_{2}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$5 (x (5 e^{5 x}) + e^{5 x}) - (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [5 x])$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $5 x$ .

$5 (x (5 e^{5 x}) + e^{5 x}) - (e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x])$

Schritt 3.3

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 (x (5 e^{5 x}) + e^{5 x}) - (e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 (x (5 e^{5 x}) + e^{5 x}) - (e^{5 x} (5 \cdot 1))$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$5 (x (5 e^{5 x}) + e^{5 x}) - (e^{5 x} \cdot 5)$

Schritt 3.6

Bringe $5$ auf die linke Seite von $e^{5 x}$ .

$5 (x (5 e^{5 x}) + e^{5 x}) - (5 \cdot e^{5 x})$

Schritt 3.7

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$5 (x (5 e^{5 x}) + e^{5 x}) - 5 e^{5 x}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$5 (x (5 e^{5 x})) + 5 e^{5 x} - 5 e^{5 x}$

Schritt 4.2

Vereine die Terme

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Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$25 (x (e^{5 x})) + 5 e^{5 x} - 5 e^{5 x}$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $5 e^{5 x}$ von $5 e^{5 x}$ .

$25 x e^{5 x} + 0$

Schritt 4.2.3

Addiere $25 x e^{5 x}$ und $0$ .

$25 x e^{5 x}$

Schritt 4.3

Stelle die Faktoren von $25 x e^{5 x}$ um.

$25 e^{5 x} x$

Schritt 4.4

Stelle die Faktoren in $25 e^{5 x} x$ um.

$25 x e^{5 x}$