Analysis Beispiele

$y = 5 x^{2} - 5 \sqrt{x} - \frac{3}{x}$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 x^{2} - 5 \sqrt{x} - \frac{3}{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

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Schritt 2.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x^{2}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}]$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$10 x + \frac{d}{d x} [- 5 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 5 \sqrt{x}]$ .

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$10 x + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}]$

Schritt 3.2

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5 x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $- 5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$10 x - 5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$10 x - 5 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}]$

Schritt 3.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$10 x - 5 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}]$

Schritt 3.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$10 x - 5 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}]$

Schritt 3.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$10 x - 5 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}]$

Schritt 3.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$10 x - 5 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}]$

Schritt 3.7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$10 x - 5 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}]$

Schritt 3.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$10 x - 5 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}]$

Schritt 3.9

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$10 x - 5 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}]$

Schritt 3.10

Kombiniere $- 5$ und $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$10 x + \frac{- 5 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}]$

Schritt 3.11

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$10 x + \frac{- 5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}]$

Schritt 3.12

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$10 x - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}]$

Schritt 4

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}]$ .

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Schritt 4.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{3}{x}$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$10 x - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 4.2

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$10 x - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Schritt 4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$10 x - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 3 (- x^{- 2})$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$10 x - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 3 x^{- 2}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$10 x - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 3 \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 5.2

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$10 x - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{x^{2}}$

Schritt 5.3

Stelle die Terme um.

$10 x + \frac{3}{x^{2}} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$