Analysis Beispiele

$y = 2 x \ln (x) + x$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x \ln (x) + x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x \ln (x)]$ .

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Schritt 2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x \ln (x)$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = \ln (x)$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$2 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.5

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{x}$ .

$2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.6.2

Forme den Ausdruck um.

$2 (1 + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.7

Mutltipliziere $\ln (x)$ mit $1$ .

$2 (1 + \ln (x)) + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 (1 + \ln (x)) + 1$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \cdot 1 + 2 \ln (x) + 1$

Schritt 4.2

Vereine die Terme

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Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + 2 \ln (x) + 1$

Schritt 4.2.2

Addiere $2$ und $1$ .

$2 \ln (x) + 3$