Analysis Beispiele

$y = 2 x \sin (x) + x^{2} \cos (x)$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x \sin (x) + x^{2} \cos (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x)]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x \sin (x)]$ .

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Schritt 2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x \sin (x)$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x \sin (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x)]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = \sin (x)$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x)]$

Schritt 2.3

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$2 (x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x)]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 (x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x)]$

Schritt 2.5

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$2 (x \cos (x) + \sin (x)) + \frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x)]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x)]$ .

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \cos (x)$ .

$2 (x \cos (x) + \sin (x)) + x^{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$2 (x \cos (x) + \sin (x)) + x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 (x \cos (x) + \sin (x)) + x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x)$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (x \cos (x)) + 2 \sin (x) + x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x)$

Schritt 4.2

Addiere $2 x \cos (x)$ und $\cos (x) (2 x)$ .

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Schritt 4.2.1

Bewege $\cos (x)$ .

$2 x \cos (x) + 2 x \cos (x) + 2 \sin (x) + x^{2} (- \sin (x))$

Schritt 4.2.2

Addiere $2 x \cos (x)$ und $2 x \cos (x)$ .

$4 x \cos (x) + 2 \sin (x) + x^{2} (- \sin (x))$

Schritt 4.3

Stelle die Terme um.

$4 x \cos (x) - x^{2} \sin (x) + 2 \sin (x)$