Analysis Beispiele

$y = 2 \sin (\frac{x}{2}) + 8 \cos (\frac{x}{2})$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 \sin (\frac{x}{2}) + 8 \cos (\frac{x}{2})$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 \sin (\frac{x}{2})] + \frac{d}{d x} [8 \cos (\frac{x}{2})]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \sin (\frac{x}{2})] + \frac{d}{d x} [8 \cos (\frac{x}{2})]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 \sin (\frac{x}{2})]$ .

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Schritt 2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 \sin (\frac{x}{2})$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\sin (\frac{x}{2})]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sin (\frac{x}{2})] + \frac{d}{d x} [8 \cos (\frac{x}{2})]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = \frac{x}{2}$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\frac{x}{2}$ .

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \frac{d}{d x} [8 \cos (\frac{x}{2})]$

Schritt 2.2.2

Die Ableitung von $\sin (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\cos (u_{1})$ .

$2 (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \frac{d}{d x} [8 \cos (\frac{x}{2})]$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\frac{x}{2}$ .

$2 (\cos (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \frac{d}{d x} [8 \cos (\frac{x}{2})]$

Schritt 2.3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x}{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (\cos (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [8 \cos (\frac{x}{2})]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 (\cos (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [8 \cos (\frac{x}{2})]$

Schritt 2.5

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$2 (\cos (\frac{x}{2}) \frac{1}{2}) + \frac{d}{d x} [8 \cos (\frac{x}{2})]$

Schritt 2.6

Kombiniere $\cos (\frac{x}{2})$ und $\frac{1}{2}$ .

$2 \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} + \frac{d}{d x} [8 \cos (\frac{x}{2})]$

Schritt 2.7

Kombiniere $2$ und $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ .

$\frac{2 \cos (\frac{x}{2})}{2} + \frac{d}{d x} [8 \cos (\frac{x}{2})]$

Schritt 2.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cos (\frac{x}{2})}{2} + \frac{d}{d x} [8 \cos (\frac{x}{2})]$

Schritt 2.8.2

Dividiere $\cos (\frac{x}{2})$ durch $1$ .

$\cos (\frac{x}{2}) + \frac{d}{d x} [8 \cos (\frac{x}{2})]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [8 \cos (\frac{x}{2})]$ .

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Schritt 3.1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 \cos (\frac{x}{2})$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [\cos (\frac{x}{2})]$ .

$\cos (\frac{x}{2}) + 8 \frac{d}{d x} [\cos (\frac{x}{2})]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = \frac{x}{2}$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $\frac{x}{2}$ .

$\cos (\frac{x}{2}) + 8 (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Schritt 3.2.2

Die Ableitung von $\cos (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $- \sin (u_{2})$ .

$\cos (\frac{x}{2}) + 8 (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\frac{x}{2}$ .

$\cos (\frac{x}{2}) + 8 (- \sin (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Schritt 3.3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x}{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (\frac{x}{2}) + 8 (- \sin (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\cos (\frac{x}{2}) + 8 (- \sin (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \cdot 1))$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$\cos (\frac{x}{2}) + 8 (- \sin (\frac{x}{2}) \frac{1}{2})$

Schritt 3.6

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\sin (\frac{x}{2})$ .

$\cos (\frac{x}{2}) + 8 (- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{2})$

Schritt 3.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$\cos (\frac{x}{2}) - 8 \frac{\sin (\frac{x}{2})}{2}$

Schritt 3.8

Kombiniere $- 8$ und $\frac{\sin (\frac{x}{2})}{2}$ .

$\cos (\frac{x}{2}) + \frac{- 8 \sin (\frac{x}{2})}{2}$

Schritt 3.9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 8$ und $2$ .

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Schritt 3.9.1

Faktorisiere $2$ aus $- 8 \sin (\frac{x}{2})$ heraus.

$\cos (\frac{x}{2}) + \frac{2 (- 4 \sin (\frac{x}{2}))}{2}$

Schritt 3.9.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.9.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\cos (\frac{x}{2}) + \frac{2 (- 4 \sin (\frac{x}{2}))}{2 (1)}$

Schritt 3.9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (\frac{x}{2}) + \frac{2 (- 4 \sin (\frac{x}{2}))}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.9.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\cos (\frac{x}{2}) + \frac{- 4 \sin (\frac{x}{2})}{1}$

Schritt 3.9.2.4

Dividiere $- 4 \sin (\frac{x}{2})$ durch $1$ .

$\cos (\frac{x}{2}) - 4 \sin (\frac{x}{2})$