Analysis Beispiele

$y = 3 x^{2} (2 x + 1)$

Schritt 1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2} (2 x + 1)$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{2} (2 x + 1)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2} (2 x + 1)]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = 2 x + 1$ .

$3 (x^{2} \frac{d}{d x} [2 x + 1] + (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$3 (x^{2} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 (x^{2} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 (x^{2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$3 (x^{2} (2 + \frac{d}{d x} [1]) + (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3.5

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 (x^{2} (2 + 0) + (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.6.1

Addiere $2$ und $0$ .

$3 (x^{2} \cdot 2 + (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3.6.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$3 (2 \cdot x^{2} + (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 (2 x^{2} + (2 x + 1) (2 x))$

Schritt 3.8

Bringe $2$ auf die linke Seite von $2 x + 1$ .

$3 (2 x^{2} + 2 \cdot (2 x + 1) x)$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 (2 x^{2} + (2 (2 x) + 2 \cdot 1) x)$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$3 (2 x^{2} + 2 (2 x) x + 2 \cdot 1 x)$

Schritt 4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 (2 x^{2}) + 3 (2 (2 x) x) + 3 (2 \cdot 1 x)$

Schritt 4.4

Vereine die Terme

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Schritt 4.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$6 x^{2} + 3 (2 (2 x) x) + 3 (2 \cdot 1 x)$

Schritt 4.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$6 x^{2} + 3 (4 x \cdot x) + 3 (2 \cdot 1 x)$

Schritt 4.4.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$6 x^{2} + 3 (4 (x^{1} x)) + 3 (2 \cdot 1 x)$

Schritt 4.4.4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$6 x^{2} + 3 (4 (x^{1} x^{1})) + 3 (2 \cdot 1 x)$

Schritt 4.4.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$6 x^{2} + 3 (4 x^{1 + 1}) + 3 (2 \cdot 1 x)$

Schritt 4.4.6

Addiere $1$ und $1$ .

$6 x^{2} + 3 (4 x^{2}) + 3 (2 \cdot 1 x)$

Schritt 4.4.7

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$6 x^{2} + 12 x^{2} + 3 (2 \cdot 1 x)$

Schritt 4.4.8

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$6 x^{2} + 12 x^{2} + 3 (2 x)$

Schritt 4.4.9

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$6 x^{2} + 12 x^{2} + 6 x$

Schritt 4.4.10

Addiere $6 x^{2}$ und $12 x^{2}$ .

$18 x^{2} + 6 x$